Considere o tetraedro OABC onde O=(0,0,0) A=(1,0,0),B=(0,2,0) e C=(0,0,3) Ache uma equação geral do plano pi paralelo à base ABC,distando 3/7 dela ?

s

\[\overrightarrow {P\left( {x,y,z} \right)} \cdot \vec n = 0\]

Para encontrarmos o vetor \({\vec n}\) precisamos realizar o produto vetorial de dois vetores linearmente independentes do plano formado pela base do tetraedro. Assim, tomemos os seguintes vetores:

\[\left\{ \matrix{ \overrightarrow {AB} = B - A \cr = \left( {0,2,0} \right) - \left( {1,0,0} \right) \cr = \left( { - 1,2,0} \right) \cr \overrightarrow {AC} = C - A \cr = \left( {0,0,3} \right) - \left( {1,0,0} \right) \cr = \left( { - 1,0,3} \right) } \right.\]

Calculando o produto vetorial entre os vetores encontrados, temos:

\[\eqalign{ \vec n = \left| {\matrix{ {\hat i} & {\hat j} & {\hat k} \cr { - 1} & 2 & 0 \cr { - 1} & 0 & 3 } } \right| \cr = 6\hat i + 3\hat j + 2\hat k \cr = \left( {6,3,2} \right) }\]

Como a distância entre os planos é constante, podemos procurar por um ponto \(P\) do plano \(\pi\) que dista \({3 \over 7}\) do ponto \(A\). Ou seja:

\[\eqalign{ \dfrac{3}{7} &= \sqrt {{{\left( {a - 1} \right)}^2} + {b^2} + {c^2}}\cr\dfrac{9}{{49}} &= {\left( {a - 1} \right)^2} + {b^2} + {c^2}{\text{ }}......\left( 1 \right) }\]

Como a distância entre os pontos \(A\) e \(C\) é \(\sqrt {10}\), a distância entre \(P\) e \(C\) é, pelo teorema de Pitágoras, igual a:

\[\eqalign{ {d_{PC}} &= \sqrt {{d_{PA}}^2 + {d_{AC}}^2}\cr&= \sqrt {{{\left( {\dfrac{3}{7}} \right)}^2} + {{\left( {\sqrt {10} } \right)}^2}}\cr&= \dfrac{{\sqrt {449} }}{7} }\]

Como a distância entre dois pontos \(\left( {{x_1},{y_1},{z_1}} \right)\) e \(\left( {{x_2},{y_2},{z_2}} \right)\) é dada por \(d = \sqrt {{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2} + {{\left( {{y_2} - {y_1}} \right)}^2} + {{\left( {{z_2} - {z_1}} \right)}^2}}\), podemos escrever para os pontos \(P\) e \(C\):

\[\eqalign{ \dfrac{{\sqrt {449} }}{7} &= \sqrt {{{\left( {0 - a} \right)}^2} + {{\left( {0 - b} \right)}^2} + {{\left( {3 - c} \right)}^2}}\cr\dfrac{{449}}{{49}} &= {a^2} + {b^2} + {\left( {3 - c} \right)^2}{\text{ }}......\left( 2 \right) }\]

Analogamente ao procedimento anterior, a distância entre os pontos \(A\) e \(B\) é \(\sqrt 5\). Assim, a distância entre \(P\) e \(B\) é \(\dfrac{{\sqrt {254} }}{7}\). Logo, podemos escrever para os pontos \(P\) e \(B\):

\[\eqalign{ \dfrac{{\sqrt {254} }}{7} &= \sqrt {{{\left( {0 - a} \right)}^2} + {{\left( {2 - b} \right)}^2} + {{\left( {0 - c} \right)}^2}}\cr\dfrac{{254}}{{49}} &= {a^2} + {\left( {2 - b} \right)^2} + {c^2}{\text{ }}......\left( 3 \right) }\]

Assim, as equações \(\left( 1 \right)\), \(\left( 2 \right)\) e \(\left( 3 \right)\) formam o seguinte sistema:

\[\left\{ \matrix{ {9 \over {49}} = {\left( {a - 1} \right)^2} + {b^2} + {c^2} \cr {{449} \over {49}} = {a^2} + {b^2} + {\left( {3 - c} \right)^2} \cr {{254} \over {49}} = {a^2} + {\left( {2 - b} \right)^2} + {c^2} } \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ a = {1 \over {2.401}}\left( {2.301 \pm \sqrt {4.621} } \right) \hfill \cr b = {1 \over {2.401}}\left( { - 50 \pm 6\sqrt {4.621} } \right) \hfill \cr c = {1 \over {2.401}}\left( {375 \pm 4\sqrt {4.621} } \right) \hfill } \right.\]

Logo, existem dois pontos \(P\) que atendem à especificação apresentada que são \({P_1} = {1 \over {2.401}}\left( {2.301 + \sqrt {4.621} , - 50 + 6\sqrt {4.621} ,375 + 4\sqrt {4.621} } \right)\) e \({P_2} = {1 \over {2.401}}\left( {2.301 - \sqrt {4.621} , - 50 - 6\sqrt {4.621} ,375 - 4\sqrt {4.621} } \right)\). Assim, o plano \({\pi _1}\) é dado por:

\[\eqalign{ \overrightarrow {{P_1}\left( {x,y,z} \right)} \cdot \vec n &= 0\cr\left( {0,986x;0,149y;0,269z} \right) \cdot \left( {6,3,2} \right) &= 0\cr5,916x + 0,447y + 0,538z &= 0 }\]

E, o plano \({\pi _2}\) é dado por:

\[\eqalign{ \overrightarrow {{P_2}\left( {x,y,z} \right)} \cdot \vec n &= 0\cr\left( {0,930x; - 0,191y;0,043z} \right) \cdot \left( {6,3,2} \right) &= 0\cr5,58x - 0,573y + 0,086z &= 0 }\]

Portanto, as equações gerais dos planos que atendem às especificações são \(\boxed{{\pi _1}:5,916x - 0,447y + 0,538z = 0}\) e \(\boxed{{\pi _2}:5,58x - 0,573y + 0,086z = 0}\).