Considere os planos α : x-y+z=0 e β: 2x+y-4z=0. Encontre a equação cartesiana do plano δ perpendicular a α e a β e que passa pelo ponto Q(4,0,-2).

x+2y+z=2

Para encontrar a equação do plano, realizaremos os cálculos abaixo:

\(\begin{align} & \alpha :(1,-1,1) \\ & \beta :(2,1,-4) \\ & \\ & \alpha \times \beta =\left[ \begin{matrix} i & j & k \\ 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & 4 \\ \end{matrix} \right] \\ & \alpha \times \beta =\left[ \begin{matrix} i & j & k \\ 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & 4 \\ \end{matrix} \right]\begin{matrix} i & j \\ 1 & -1 \\ 2 & 1 \\ \end{matrix} \\ & \alpha \times \beta =-4i+2j+k+2k-i-4j \\ & \alpha \times \beta =(-5,-2,3) \\ & \\ & a(x-{{x}_{0}})+b(y-{{y}_{0}})+c(z-{{z}_{0}})=0 \\ & -5(x-4)-2(y-0)+3(z+2)=0 \\ & -5x+20-2y+3z+6=0 \\ & -5x-2y+3z+26=0 \\ \end{align}\ \)

Portanto, a equação do plano será \(\boxed{\alpha \times \beta = \left( { - 5, - 2,3} \right)}\).