como calcular as raizes utilizando o metodo de newton

A ideia é, dado um ponto X1:

1- Traçar a reta tangente daquele ponto (derivada) e encontrar o valor em que essa reta corta o eixo X.

2- Uma vez encontrado o novo x, calcula-se f(x).

3- Se f(x) = 0, encontrou a raiz, então para as iterações.

4- Se não, calcula a derivada de f no novo X e repete os passos anteriores.

Existem diversos metodos para aproximar raízes.

A fórmula que apresentada logo abaixo é uma aproximação para raízes quadradas, mas se nos deparamos com um problema e não temos uma calculadora na mão, temos:

Há ainda, o método de Newton-Raphson. 

De acordo com o método de Newton-Raphson, dada uma função qualquer f(i), que possua derivada f'(i), o valor de i que resolve a equação f(i)=0 será dado por:

\(\boxed{ik+1 = ik - f(ik)/f'(ik​​​​​​​)}\)

Fonte: https://www.obaricentrodamente.com/2011/01/mais-um-metodo-para-aproximar-raiz.html