Vamos desenvolver a primeira parte da igualdade para chegarmos na segunda:

\(x=DA\cdot BC+DB\cdot CA+DC\cdot AB\)

Fazendo \(DA=DC+CA\), temos:

\(\begin{align} x&=(DC+CA)\cdot BC+DB\cdot CA+DC\cdot AB\\ &=DC\cdot BC+CA\cdot BC+DB\cdot CA+DC\cdot AB\\ &=CA\cdot BC+DB\cdot CA+DC\cdot (AB+BC) \end{align}\)

Fazendo \(DB=DC+CB\), temos:

\(\begin{align} x&=CA\cdot BC+(DC+CB)\cdot CA+DC\cdot (AB+BC)\\ &=CA\cdot BC+DC\cdot CA+CB\cdot CA+DC\cdot (AB+BC)\\ &=CA\cdot BC+CB\cdot CA+DC\cdot (AB+BC+CA) \end{align}\)

Mas \(AB+BC+CA=0\), já que formam um ciclo. Logo, temos:

\(\begin{align} x&=CA\cdot BC+CB\cdot CA\\ &=CA\cdot (BC+CB) \end{align}\)

Agora temos que \(BC+CB=0\), já que são opostos entre si. Logo, temos:

\(x=0\Rightarrow\boxed{DA\cdot BC+DB\cdot CA+DC\cdot AB=0}_\boxed{c.q.d.}\)