em relação ao sistema ortogonal de coordenadas a = (1 2 - 1 )B =( 0 1 1) e c = (2 0 0 )mostre que a b c são vértices de um triângulo equilátero.

Se formam um triângulo, então a soma de todos os vetores deve ser zero (porque eles começam em um ponto e terminam neste mesmo ponto). Sendo assim:

AB + BC + AC = 0

Provando que isso é verdade, você prova que compõem um triângulo. 

Se o MÓDULO de cada um destes vetores for igual aos outros dois, você prova que o triângulo é equilátero.

Primeiramente vamos calcular:

AB = A (2; 3; 1) e B (2; 1; -1)

(AB)² = (2 - 2)² + (1 - 3)² + (-1 -1)²
(AB)² = (0)² + (-2)² + (-2)²
(AB)² = 0 + 4 + 4
(AB)² = 8

AC, com A (2; 3; 1) e C (2; 2; -2):

(AC)² = (2 - 2)² + (2 - 3)² + (-2 -1)²
(AC)² = (0)² + (-1)² + (-3)²
(AC)² = 0 + 1 + 9
(AC)² = 10

BC = B (2; 1; -1) e C (2; 2; -2)

(BC)² = (2 - 2)² + (2 - 1)² + (-2 - (-1))²
(BC)² = (0)² + (1)² + (-2 + 1)²
(BC)² = (0)² + (1)² + (-1)²
(BC)² = 0 + 1 + 1
(BC)² = 2

Os três resultados são:

(AB)² = 8       
(AC)² = 10       
(BC)² = 2

Aplicando pitágoras:

(AC)² = (AB)² + (BC)²

10 = 8 + 2
10 = 10

Portanto, prova-se que é um triângulo retângulo