8. Sejam f e g duas funções definidas e derivaveis em R. Suponha que f (0)=0, g (0)=1 que para todo x. a) Mostre que , para todo x,

 Primeiramente, podemos avaliar as funções no ponto \(x=0\). Para isso, substituímos de forma que a expressão fique: \([f(x)-sin(x)]^2+[g(x)-cos(x)]^2=0\implies [f(0)-sin(0)]^2+[g(0)-cos(0)]^2=0 \) mas, como \(sin(0)=0,cos(0)=1\) então: \([0-0]+[1-1]=0\). Para que possamos provar que, para qualquer x real, a expressão é igual a 0, devemo supor que \(f'(x)=g(x), g'(x)=-f(x)\) (faltou essa premissa antes). Então, como as funções são contínuas e deriváveis, podemos supor que existe uma \(F(x)|F(x)=(f(x)-sin(x))^2+(g(x)-cos(x))^2\) que é diferenciável e, portanto: \(F'(x)=2[f(x)-sin(x)][f'(x)-cos(x)]+2[g(x)-cos(x)][g'(x)+sin(x)]\) mas como \(f'(x)=g(x), g'(x)=-f(x)\) podemos reorganizar \(F'(x)=2[f(x)-sin(x)][g(x)-cos(x)+2[g(x)-cos(x)][sin(x)-f(x)]\) e abrindo a expressão: \(F'(x)=2[f(x)g(x)-f(x)cos(x)-sin(x)g(x)+sin(x)cos(x)+g(x)sin(x)-g(x)f(x)-cos(x)sin(x)+cos(x)f(x)]\) percebe-se que todos os termos se anulam independentemente de x, de forma que a derivada se torna nula, ou seja: \(F'(x)=0 \implies F(x) \equiv constante\) mas já provamos que a expressão é nula para \(x=0 \implies F(x)=0\) para qualquer valor.

 Como \([f(x)-sin(x)]^2+[g(x)-cos(x)]^2=0\) , admitindo-se apenas valores reais, a única forma da expressão zerar é: \(f(x)-sin(x)=0,g(x)-cos(x)=0 \implies f(x)=sin(x),g(x)=cos(x)\).