A resolução se dará em 3 passos:
1 - Encontrar o módulo de b;
2 - Determinar o vetor paralelo a a, e seu módulo;
3 - Igualar os módulos de b e do vetor paralelo a a.
Passo 1
b = i + 2j => b = (1,2,0)
llbll = √(1²+2²)
llbll = √5
Passo 2
Por definição, sabemos que um vetor, paralelo ou colinear a outro, possuirá um escalar com uma constante k como forma de demonstrar a relação de colinearidade ou paralelismo, ou seja, u = k.v .
Dessa forma, temos que:
c = k.a
c = k.(3,-1,2)
c = (3k, -k, 2k)
llcll = √(3k)²+(-k)²+(2k)²
llcll = √9k²+k²+4k²
llcll = √14k²
Passo 3
Aqui igualaremos os módulos de b e c, como forma de encontrar o valor de k, e posteriormente substituir no vetor c, para encontrar suas componentes vetoriais reais.
llbll = llcll
√5 = √14k²
(√5)² = (√14k²)²
5 = 14k²
k² = 5/14
k = √0,3576
k = 0,6 (arredondando)
Substituindo k em c = k.a, para obtenção do vetor paralelo a a:
c = 0,6.(3,-1,2)
c = (1,8; -0,6; 1,2)
Seja \(u= (a,b,c)\) um vetor. Sua norma, ou módulo é dado por :
\(|u|=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\)
Assim, o módulo do vetor \(b=i+2j= (1,2)\) é
\(|b|=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}\)
Para que dois vetores sejam paralelos, suas coordenadas correspondentes devem ser proporcionais, ou seja:
\(\frac{x1}{x2}=\frac{y1}{y2}=\frac{z1}{z2}\)
Assim, seja \(u= (a,b,c)\) o nosso vetor desconhecido. Temos então:
\(x1=3\\ x2=a\\ y1=-1\\ y2=b\\ z1=2\\ z2= c\\\)
Fazendo a proporção entre \(x\) e \(y\), temos:
\(\frac{3}a=\frac{-1}b\\ 3b=-a\)
\(b=-a/3 \) equação \(1\)
Fazendo a proporção entre \(x\) e \(z\), temos:
\(\frac{3}a=\frac{2}c\\ 3c=2a\)
\(c=\frac{2a}3\) equação \(2\)
O módulo do nosso vetor desconhecido é:
\(|u|=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\)
\(\sqrt5=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\)
Substituindo a equação \(1\) e \(2\) na equação acima;
\(\sqrt5=\sqrt{a^2+(-1/3)^2+(2a/3)^2}\)
\(\sqrt5=\sqrt{a^2+(a^2/9)+(4a^2/9)}\)
\(\sqrt{14a^2/9}=\sqrt5\)
\(14a^2/9=5-->a^2=45/14-->a=\sqrt{45/14}\)
Assim:
\(c=2a/3 \)
\(c=\frac{2.\sqrt{45/14}}{3}\)
\(b=-a/3 \)
\(b=\frac{-\sqrt{45/14}}{3}\)
Portanto, o vetor procurado é :
\(\boxed{u=(\sqrt{\frac{45}{14}};\frac{\sqrt{\frac{45}{14}}}3;2\frac{\sqrt{\frac{45}{14}}}3)}\)
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