Determine uma base do R3 que possua dois elementos de B.

Você pode usar os dois primeiros vetores. Como eles possuem zero na primeira e terceira coordenada, o terceiro vetor que seja LI com esses dois deve ter 0 na segunda coordenada e as outras não nulas. Portanto um terceiro vetor é (1,0,1). Verificando que são LI:

a(1,1,0)+b(1,0,1)+c(0,1,1) = 0

a+b = 0 -> b=-a

a+c=0 -> c=-a

b+c=0 -> -2a = 0 -> [a=0], portanto b=0 e c=0. A única solução para esse sistema é a solução trivial. Portanto os vetores são LI e formam uma base no R³. Não é canônica, pois eles não são vetores unitários.

Para formar uma base (A, vamos chamar), precisamos de três vetores linearmente independentes. Vamos tomar, então, os dois primeiros vetores, que não são proporcionais entre si:

\(A = \left\lbrace (0,1,1),(1,1,0),A_3\right\rbrace\)

Dois vetores ortogonais são necessariamente linearmente independentes. Para obter um vetor ao mesmo tempo ortogonal aos dois já obtidos, vamos calcular o produto vetorial:

\(\begin{align} A_3 &= A_1\times A_2\\ &= (0,1,1)\times (1,1,0)\\ &= \begin{vmatrix}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\0&1&1\\1&1&0\end{vmatrix}\\ &= (-1,1,-1) \end{align}\)

Temos, portanto, a base procurada:

\(\boxed{A = \left\lbrace (0,1,1),(1,1,0),(-1,1,-1)\right\rbrace}\)

Não preciso então formar uma base ou escrever ?essa na verdade é minha duvida , porque eu resolvo o sistema verificando se é LI e depois se forma uma base que no caso é do R3 , mais pede para determinar uma base , voce fez como eu fiz