Determine uma base V = {(x,y,z) ∈R3 |y-2z=0}, que é um subespaço de R3 a. {(1,0,0),(0,2,1)} b. {(0,0,0)(1,1,1)} c. {(1,1,1),(3,1,2)} d. ...

Para determinar uma base de um subespaço vetorial, precisamos encontrar um conjunto de vetores que sejam linearmente independentes e gerem todo o subespaço. No caso de V = {(x,y,z) ∈R3 |y-2z=0}, podemos reescrever a condição y-2z=0 como y=2z e obter a seguinte equação vetorial: V = {(x, 2z, z) | x,z ∈ R}. Agora, vamos verificar cada uma das opções de bases propostas: a. {(1,0,0),(0,2,1)}: O primeiro vetor satisfaz a condição de V, mas o segundo não. Portanto, essa opção não é uma base de V. b. {(0,0,0),(1,1,1)}: O primeiro vetor é o vetor nulo, que não pode ser uma base de nenhum subespaço não trivial. Além disso, o segundo vetor não satisfaz a condição de V. Portanto, essa opção não é uma base de V. c. {(1,1,1),(3,1,2)}: Nenhum dos vetores satisfaz a condição de V. Portanto, essa opção não é uma base de V. d. {(1,0,2),(1,2,1)}: Ambos os vetores satisfazem a condição de V. Além disso, podemos verificar que eles são linearmente independentes, pois não há combinação linear deles que resulte no vetor nulo, exceto a combinação trivial. Portanto, essa opção é uma base de V. e. {(1,0,1),(1,2,0)}: O primeiro vetor satisfaz a condição de V, mas o segundo não. Portanto, essa opção não é uma base de V. Assim, a única opção que é uma base de V é d. {(1,0,2),(1,2,1)}.