Determine uma base V = {(x,y,z) ∈R3 |y-2z=0}, que é um subespaço de R3 a. {(1,0,1),(1,2,0)} b. {(1,1,1),(3,1,2)} c. {(0,0,0)(1,1,1)} d. ...

Para determinar uma base de um subespaço vetorial, precisamos encontrar um conjunto de vetores que sejam linearmente independentes e gerem todo o subespaço. No caso de V = {(x,y,z) ∈R3 |y-2z=0}, podemos reescrever a condição y-2z=0 como y=2z e obter a seguinte representação paramétrica para V: V = {(x,2t,t) | x,t ∈ R}. Assim, podemos escolher dois vetores que gerem V e sejam linearmente independentes. Analisando as opções apresentadas, temos: a. {(1,0,1),(1,2,0)}: O primeiro vetor pertence a V, mas o segundo não. Além disso, eles não são linearmente independentes, pois o segundo vetor é uma combinação linear do primeiro (basta somar o primeiro vetor com o dobro do terceiro componente do segundo vetor). Portanto, não é uma base de V. b. {(1,1,1),(3,1,2)}: Nenhum dos vetores pertence a V, pois o segundo componente não é o dobro do terceiro. Portanto, não é uma base de V. c. {(0,0,0),(1,1,1)}: O segundo vetor não pertence a V, pois o segundo componente não é o dobro do terceiro. Além disso, eles não são linearmente independentes, pois o primeiro vetor é o vetor nulo. Portanto, não é uma base de V. d. {(1,0,0),(0,2,1)}: Ambos os vetores pertencem a V e são linearmente independentes. Portanto, é uma base de V. e. {(1,0,2),(1,2,1)}: O segundo vetor não pertence a V, pois o segundo componente não é o dobro do terceiro. Além disso, eles não são linearmente independentes, pois o segundo vetor é a soma do primeiro com o dobro do terceiro componente. Portanto, não é uma base de V. Assim, a alternativa correta é a letra d: {(1,0,0),(0,2,1)} é uma base de V.