como encontrar uma aproximação da raiz da função: f(x) = x2 - 3 ?

Boa tarde!

Há diversos métodos, mas meu favorito é o método de Newton-Raphson.

A fórmula é a seguinte:

xn+1=xn-f(xn)/f'(xn)

Então:

xn+1=xn-(xn^2-3)/(2xn)=xn-xn/2+3/(2xn)

xn+1=xn/2+3/(2xn)

Vamos começar as iterações, então:

Para x0 = 2

x1=2/2+3/(2*2)=1+3/4=1,75

Para x1=1,75

x2=1,75/2+3/(2*1,75)=1,732143

Para x2=1,732143

x3=1,732143/2+3/(2*1,732143)=1,732051

Para x3=1,732051

x4=1,732051/2+3/(2*1,732051)=1,732051

Veja que nessa iteração, já não mudou em relação à anterior, portanto, melhor aproximação com 6 casas decimais.

Espero ter ajudado!

Existem diversos metodos para aproximar raízes.

A fórmula que apresentada logo abaixo é uma aproximação para raízes quadradas, mas se nos deparamos com um problema e não temos uma calculadora na mão, temos:

Há ainda, o método de Newton-Raphson. 

De acordo com o método de Newton-Raphson, dada uma função qualquer f(i), que possua derivada f'(i), o valor de i que resolve a equação f(i)=0 será dado por:

Resolvendo a questão, temos:

A fórmula do método de Newton-Raphson é: x1=x0-f(X0)/f'(x0), nesse caso x0 = 1.
x1 = 1-(1²-3)/2*1 
x1 =  1-(-1) = 1+1 = 2