Determine a razão entre os perímetros do quadrado circunscrito e do hexágono regular inscrito numa cir- cunferência de raio R.

Aqui temos duas imagens genéricas de um quadrado circunscrito em uma circunferência e um hexágono inscrito em uma circunferência (optei por duas imagens diferentes, mas imagine que seja a mesma circuferencia de raio R).

Começando pelo quadrado: o raio do circulo (a distancia do ponto O ao ponto C) representa metade do lado do quadrado, logo, o lado Lq do quadrado é 2R. Como o perímetro do quadrado é 4.Lq, temos que o perímetro é 4.2R= 8R.

Agora o hexágono: o hexágono pode ser dividido em 6 triangulos equiláteros iguais, como mostra a figura. isso quer dizer que o raio da circunferência é igual ao lado Lh do hexágono. Sabemos que o perímetro do hexágono é dado por 6.Lh, ou seja, 6R.

O exercício pediu a razão entre os perímetros do quadrado cincunscrito e do hexágono inscrito na circunferência de raio R, dessa formas temos que:

\(razão = {4R \over 6R} = {4\over 6} = {2\over 3}\)