Escrevendo a equação da reta tangente à curva y2 - x4 = 3 que passa pelo ponto (1,2) temos:

y=2x

Neste exercício, será determinada a reta tangente a uma dada curva. Para isso, será utilizada a derivação implícita na equação da curva \(y^2-x^4=3\).

Derivando a equação em relação a x, a equação resultante é:

\(\Longrightarrow {d\over dx}y^2-{d\over dx}x^4={d\over dx}3\)

\(\Longrightarrow {d\over dy}y^2{dy \over dx}-4x^3=0\)

\(\Longrightarrow 2y{dy \over dx}=4x^3\)

\(\Longrightarrow {dy \over dx}={4x^3 \over 2y}\)

O termo \({dy \over dx}\) representa a inclinação da reta, ou seja, o coeficiente angular \(a\) da reta tangente à curva \(y^2-x^4=3\). Para calcular seu valor, será utilizado o dado ponto cartesiano \((x=1,y=2)\). Com isso, o valor de \({dy \over dx}\) é:

\(\Longrightarrow {dy \over dx}={4(1)^3 \over 2(2)}\)

\(\Longrightarrow {dy \over dx}=1\)

\(\Longrightarrow a=1\)

Com isso, sabe-se que a equação geral da reta é:

\(\Longrightarrow y=ax+b\)

\(\Longrightarrow y=x+b\)

Para calcular o valor do coeficiente linear \(b\) da equação anterior, será utilizado o dado ponto cartesiano \((x=1,y=2)\) que está contido na reta. Substituindo os valores conhecidos, seu valor é:

\(\Longrightarrow y=x+b\)

\(\Longrightarrow 2=1+b\)

\(\Longrightarrow b=1\)

Finalmente, pode-se escrever a equação completa da reta tangente. A equação completa é:

\(\Longrightarrow \fbox{$y=x+1$}\)