Calcule e marque a única resposta correta para o gradiente da função: f(x,y,z)=e-x+e-y+e-z no ponto P0(-1,-1,-1)

-e, -e, -e

O gradiente de uma função pode ser calculado pela seguinte expressão:

\(\nabla f(x,y,z)=\left({\partial f\over\partial x},{\partial f\over\partial y},{\partial f\over\partial z}\right)\)

Para a função dada, temos:

\(f(x,y,z)=e^{-x}+e^{-y}+e^{-z}\\ {\partial f\over\partial x} = -e^{-x}+0+0=-e^{-x}\\ {\partial f\over\partial y} = 0-e^{-y}+0=-e^{-y}\\ {\partial f\over\partial x} = 0+0-e^{-z}=-e^{-z}\\\)

Usando os resultados acima, temos o gradiente numa posição arbitrária:

\(\nabla f(x,y,z)=\left(-e^{-x},-e^{-y},-e^{-z}\right)\)

Substituindo as coordenadas do ponto, temos:

\(\boxed{\nabla f(-1,-1,-1)=\left(-e,-e,-e\right)}\)