Determine a solução geral da equação diferencial x 2 y y’ – 2 x y 3 = 0:

Equação diferencial:

-> x^2 y dy/dx - 2 x y^3 = 0

-> x^2 y dy - 2 x y^3 dx = 0

-> - 2 x y^3 dx + x^2 y dy = 0

Sendo M = - 2 x y^3 e N = x^2 y, as expressões de My e Nx são:

{ My = d(- 2 x y^3)/dy -> { My = - 6 x y^2

{ Nx = d(x^2 y)/dx -> { Nx = 2 x y

Como My e Nx não são iguais, a equação diferencial não é exata. Portanto, deve-se calcular um fator integrante μ, embora nem sempre seja fácil calculá-lo.

Calculando um μ dependente unicamente de y, sua equação é:

-> μ = exp [ ∫ ( Nx - My)/M dy ]

-> μ = exp [ ∫ ( 2 x y + 6 x y^2 ) / (- 2 x y^3) dy ]

-> μ = exp [ - ∫ ( 1 + 3 y ) / y^2 dy ]

-> μ = exp [ - ∫ 1 / y^2 dy - ∫ 3 y / y^2 dy ]

-> μ = exp [ - ∫ 1 / y^2 dy - 3 ∫ 1 / y dy ]

-> μ = exp [ 1/y - 3 ln |y| ]

-> μ = exp [ 1/y ] / exp [ 3 ln |y| ]

-> μ = exp [ 1/y ] / exp [ ln |y| ]^3

-> μ = exp [ 1/y ] / y^3

Portanto, a equação diferencial fica da seguinte forma:

-> μ (- 2 x y^3) dx + μ (x^2 y) dy = 0

-> - 2 exp(1/y) x dx + x^2 exp(1/y)/y^2 dy = 0

Com a equação na forma exata, tem-se Fx = - 2 exp(1/y) x e Fy = x^2 exp(1/y)/y^2. Integrando Fx em x, a expressão de F é:

-> F = ∫ Fx dx

-> F = ∫ - 2 exp(1/y) x dx

-> F = - x^2 exp(1/y) + h(y), onde h(y) é uma função dependente unicamente de y.

Derivando F em y:

-> Fy = dF/dy

-> Fy = d[ - x^2 exp(1/y) + h(y) ]/dy

-> Fy = - x^2 exp(1/y) (1/y)' + h'(y)

-> Fy = - x^2 exp(1/y) (- 1/y^2) + h'(y)

-> Fy = x^2 exp(1/y)/y^2 + h'(y)

Igualando a equação acima com Fy = x^2 exp(1/y)/y^2, tem-se que h'(y) = 0, ou h(y) = c, sendo c uma constante qualquer. Portanto a solução geral da equação diferencial é:

-> F = - x^2 exp(1/y) + h(y)

-> F = - x^2 exp(1/y) + c

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