Ache a área da região compreendida pelas curvas x = y2 e y = x-2

Para encontrar os limites de integração, devemos resolver o sistema

x = y²

x = y + 2

A solução é S = {(-1,2)}, que são os limites de integração.

É necessário saber qual funão é maior no intervalo [-1,2].

Ou seja, a integral que calcula a área procurada é:

∫(-y² + y + 2)dy, de -1 até 2

O resultado é 9/2 

Primeiramentre vamos colocar as funções em função de uma única variável. Por habito, vamos deixar tudo em função de X:

\(\begin{align} & x\text{ }=\text{ }y{}^\text{2}~\text{ }~~ \\ & y=\text{ }x-2~ \\ & x=\text{ }y+2 \\ \end{align} \)

Agora igualaremos as duas funções, obtendo assim uma equação do segundo grau:

\(y²=y+2 \\ y²-y-2=0 \)

Agora basta resolvermos a equação e obter as raizes, onde o intervalo das mesmas, será a área que queremos encontrar:

\(\begin{align} & y{}^\text{2}-y-2=0 \\ & \Delta =1-8 \\ & \Delta =9 \\ & x'=\frac{1+\sqrt{9}}{2}=\frac{1+3}{2}=2 \\ & x''=\frac{1-\sqrt{9}}{2}=\frac{1-3}{2}=-1 \\ \end{align} \)

Portanto, a área da região estará compreendida no intervalo de \(\boxed{x = \left[ { - 1,2} \right]}\).