Primeiramentre vamos colocar as funções em função de uma única variável. Por habito, vamos deixar tudo em função de X e

igualaremos as duas funções, obtendo assim uma equação do segundo grau:

\(\begin{align} & {{y}^{2}}=4x \\ & x=\frac{{{y}^{2}}}{4} \\ & {{x}^{2}}=6y \\ & {{\left( \frac{{{y}^{2}}}{4} \right)}^{2}}=6y \\ & \frac{{{y}^{4}}}{16}=6y \\ & {{y}^{4}}-96y=0 \\ \end{align} \)

Agora basta resolvermos a equação e obter as raizes, onde o intervalo das mesmas, será a área que queremos encontrar:

\(\begin{align} & {{y}^{4}}-96y=0 \\ & y({{y}^{3}}-96)=0 \\ & y'=0 \\ & y=\sqrt[3]{96} \\ & y=\pm 4,57 \\ \end{align} \)

Portanto, a área da região estará compreendida no intervalo de \(\boxed{y = \pm 4,57}\).