Cálculo Numérico

x8=0,6445 e 8 iterações

Para resolver este problema, devemos colocar em prática nosso conhecimento sobre o Cálculo Numérico, mais especificamente sobre o Método da Bisseção.

A partir do princípio de que se uma função contínua \(f(x)\) definida em \([a,b]\), tendo \(f(a)\) e \(f(b)\) sinais opostos (\(f(a)\cdot f(b)<0\)), então a função possui pelo menos uma raiz no intervalo \([a,b]\), o Método da Bisseção consiste em dividir o intervalo em um ponto médio \(c=\dfrac{a+b}2\) e então verificar em qual dos dois subintervalos garante-se a existência de uma raiz.

O intervalo dado foi de \([a,b]=[0,1]\). Assim, calcula-se:

\(\begin{align} f(0)&=\sqrt{0}-\cos(0) \\&=-1 \end{align}\)

\(\begin{align} f(1)&=\sqrt{1}-\cos(1) \\&=0,4697 \end{align}\)

\( \begin{align} x_0&=\dfrac{0+1}{2} \\&=0,5 \end{align}\)

\(\begin{align} f(0,5)&=\sqrt{0,5}-\cos(0,5) \\&=-0,1704 \end{align}\)

Logo, \(f(0,5)\cdot f(1)<0\) e daí, iterando novamente:

\( \begin{align} x_1&=\dfrac{0,5+1}{2} \\&=0,75 \end{align}\)

\(\begin{align} f(0,75)&=\sqrt{0,75}-\cos(0,75) \\&=0,1343 \end{align}\)

Verifica-se que \(f(0,75)\cdot f(0,5)<0\), então:

\( \begin{align} x_2&=\dfrac{0,75+0,5}{2} \\&=0,625 \end{align}\)

\(\begin{align} f(0,625)&=\sqrt{0,625}-\cos(0,625) \\&=-0,0204 \end{align}\)

Como \(f(0,625)\cdot f(0,75)<0\):

\( \begin{align} x_3&=\dfrac{0,625+0,75}{2} \\&=0,6875 \end{align}\)

\(\begin{align} f(0,6875)&=\sqrt{0,6875}-\cos(0,6875) \\&=0,05623\end{align}\)

Tem-se que \(f(0,6875)\cdot f(0,625)<0\), então:

\( \begin{align} x_4&=\dfrac{0,6875+0,625}{2} \\&=0,65625\end{align}\)

\(\begin{align} f(0,65625)&=\sqrt{0,65625}-\cos(0,65625) \\&=0,0178\end{align}\)

Pelo fato de \(f(​​0,65625)\cdot f(0,625)<0\), vem que:

\( \begin{align} x_5&=\dfrac{0,65625+0,625}{2} \\&=0,640625\end{align}\)

\(\begin{align} f(0,640625)&=\sqrt{0,640625}-\cos(0,640625) \\&=-0,00133\Rightarrow |-0,00133|<0,005\end{align}\)

Portanto, \(\boxed{0,640625}\) é uma raiz de \(f(x)=\sqrt x-\cos x\) contida no intervalo \([0,\text{ }1]\) com erro menor que \(0,005\). Para encontrar tal resultado, foi necessário realizar \(6\) iterações.