Como definir a rotação de uma transformaação linear ?

Existe uma ligação muito forte entre transformações lineares e bases. A descrição de uma transformação linear por meio de seus valores em uma base (ver glossário) muda com uma mudança de base.

Em alguns problemas práticos existe a necessidade de mudar de base e calcular as componentes de um vetor arbitrário correspondente a uma nova base.

Em geral, aparecem matrizes complicadas (relacionadas a bases) na resolução de problemas e devemos simplificar as mesmas. Se usarmos bases onde as matrizes são diagonalizáveis (ver glossário) simplificaremos muito tais problemas.

Usaremos mudanças de bases para transformar uma dada base em uma outra base mais simples, como por exemplo a base canônica.

1. A transformação linear T:R²R² definida por T(x,y)=(x,y), está associada à matriz [T] em relação à base canônica em R² dada por

   [T] =	1 0 0 1

2. A transformação linear T:R²R² definida por T(x,y)=(2x,2y) está associada à matriz [T] em relação à base canônica em R²:

   [T] =	2 0 0 2

3. A transformação T:R²R² definida por T(x,y)=(2x,3y) é linear e está associada à matriz [T] em relação à base canônica em R²:

   [T] =	2 0 0 3

4. A transformação T:R²R² definida por T(x,y)=(2x+3y,4x−5y) está associada à matriz em relação à base canônica em R²:

   [T] =	2 3 4 −5

5. Seja a transformação T:R²R² definida por T(x,y)=(ax+by,cx+dy). A matriz [T] associada a esta transformação em relação à base canônica em R² é dada por:

   [T] =	a b c d

6. Sejam e₁=(1,0) e e₂=(0,1) vetores básicos canônicos em R² e T:R²R² a transformação linear de rotação (sentido anti-horário) de um ângulo t em torno da origem do sistema.

   T(e1)	=	+cos(t) e1 +sen(t) e2
   T(e2)	=	−sen(t) e1 +cos(t) e2

   Vejamos uma situação gráfica:

   

   A matriz A relativamente a esta base é

   [T] =	cos(t) −sen(t) sen(t) cos(t)

A resolução de problemas em Física torna-se bem mais simples se o referencial que descreve o movimento for escolhido de forma conveniente.

Por exemplo, em um problema cuja trajetória do corpo se realiza no plano xy segundo a equação da elipse