Cálculo função receita e custo

Considerando a função da receita \(R(x) = -0,3x^2 + 120x\) e do custo \(C(x) = 0,3x^3 - 3x^2 - 4x+100\), a função do lucro \(L(x)\) é:

\(\Longrightarrow L(x) = R(x) - C(x)\)

\(\Longrightarrow L(x) = (-0,3x^2 + 120x) - ( 0,3x^3 - 3x^2 - 4x+100)\)

\(\Longrightarrow L(x) = -0,3x^2 + 120x- 0,3x^3 + 3x^2 + 4x-100\)

\(\Longrightarrow L(x) = - 0,3x^3 +2,7x^2+ 124x-100\)

O valor de \(x\) que maximiza o lucro deve atender à seguinte equação de derivada:

\(\Longrightarrow L'(x) =0\)

Portanto, a equação anterior fica da seguinte forma:

\(\Longrightarrow (- 0,3x^3 +2,7x^2+ 124x-100)' =0\)

\(\Longrightarrow - 0,3\cdot 3x^{3-1} +2,7\cdot 2x^{2-1}+ 124-0 =0\)

\(\Longrightarrow - 0,9x^2 +5,4x+ 124 =0\)

A equação anterior está no formato \(ax^2 +bx+c=0\), com \(a=-0,9\), \(b=5,4\) e \(c=124\). Portanto, os valores de \(x\) são:

\(\Longrightarrow x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\)

\(\Longrightarrow x = {-5,4 \pm \sqrt{(5,4)^2-4\cdot (-0,9)\cdot 124} \over 2\cdot (-0,9)}\)

\(\Longrightarrow x = {-5,4 \pm \sqrt{475,56} \over-1,8}\)

\(\Longrightarrow x = {-5,4 \pm 21,807 \over-1,8}\)    \(\to \left \{ \begin{matrix} x_1 = -9,115 \\ x_2 = 15,115 \end{matrix} \right.\)

Um dos valores anteriores de \(x\) maximizam o lucro. Para sabermos qual é esse valor, vamos substituir os dois valores na função \( L(x) = - 0,3x^3 +2,7x^2+ 124x-100\). Portanto, os valores de \(L(x_1)\) e \(L(x_2)\) são:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} L(x_1) = - 0,3\cdot(-9,115)^3 +2,7\cdot (-9,115)^2+ 124\cdot (-9,115)-100 \\ L(x_2) = - 0,3\cdot (15,115)^3 +2,7\cdot (15,115)^2+ 124\cdot (15,115)-100 \end{matrix} \right.\)

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} L(x_1) = - 778,744 \\ L(x_2) = 1.355,144 \end{matrix} \right.\)

Como \(L(x_1)<0\) e \(L(x_2)>0\), o valor de \(x\) que maximiza o lucro é:

\(\Longrightarrow x_2 = 15,115\)

O valor de \(x\) deve ser inteiro e positivo, porque diz respeito à quantidade de veículos. Portanto, a quantidade \(x\) de veículos (o inteiro mais próximo) que maximiza o lucro é:

\(\Longrightarrow \fbox {$ x=15\, \mathrm{veículos} $}\)

Portanto, o lucro máximo correspondente é:

\(\Longrightarrow L(15) = - 0,3x^3 +2,7x^2+ 124x-100\)

\(\Longrightarrow L(15) = - 0,3\cdot (15)^3 +2,7\cdot (15)^2+ 124\cdot (15)-100\)

\(\Longrightarrow \fbox {$ L(15) =1.355 \, \mathrm{milhares \, de \, reais} $}\)

Alguém poderia me ajudar, não estou conseguindo resolver, e preciso estudar pra prova!!!!