tudo sobre desigualdade isoperimetrica

. Definição

Em matemática, a desigualdade isoperimétrica é uma desigualdade geométrica envolvendo o quadrado da circunferência de uma curva fechada de uma região plana que ela abranja, bem como as suas diversas generalizações. Isoperimetria (de onde "isoperimétrico") significa literalmente "com um perímetro igual". Em matemática, a isoperimetria é o estudo geral das figuras geométricas que tem contornos iguais. Especificamente, a desigualdade isoperimétrica estabelece, para o comprimento L de uma curva fechada e área Ade uma região planar, que

{\displaystyle 4\pi A\leq L^{2},}

e que a igualdade sustenta-se se, e apenas se, a curva é um círculo.

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O problema isoperimétrico é determinar uma figura plana da maior área possível cuja fronteira tem um comprimento especifico.^[1]

3. A Solução de Dido – Problema Isoperimétrico

Dido resolveu, de forma intuitiva, o que hoje é chamado de problema isoperimétrico e que é enunciado na forma seguinte: “Entre todas as curvas fechadas simples no plano, de comprimento dado L, encontre aquela que engloba maior área”.

A primeira demonstração do problema isoperimétrico, que foi amplamente aceita, surgiu em 1870 como uma consequência do trabalho do matemático alemão Karl Weierstrass em “Cálculo das Variações.” Depois de Weierstrass, outros matemáticos obtiveram demonstrações do problema isoperimétrico usando Geometria, Cálculo Diferencial e Integral e Séries de Fourier.

Como demonstração para o problema isoperimétrico apresenta-se a seguir uma prova dentro da perspectiva da Geometria usando aproximação por triângulos.

3.1. O Problema Isoperimétrico para Triângulos

     “Entre todos os triângulos de mesmo perímetro, o que tem maior área é o triângulo equilátero.”

     Prova

Seja {\displaystyle 2p=a+b+c} o perímetro do triângulo e seja a sua área {\displaystyle A={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}}. Temos então que:

{\displaystyle {\frac {(p-a)+(p-b)+(p-c)}{3}}\geq {\sqrt[{3}]{(p-a)+(p-b)+(p-c)}}}

{\displaystyle {\frac {p^{3}}{27}}\geq (p-a)(p-b)(p-c)}

{\displaystyle p^{4}\geq 27A^{2}}