escrever t como combinaçao linear

t = x.u + y.v + z.w

(4,0,13) = x(1,-2,3) + y(2,1,3) + z(-1,-1,4)

(4,0,13) = (x,-2x,3x) + (2y,y,3y) + (-z,-z,4z)

(4,0,13) = (x+2y-z, -2x+y-z, 3x+3y+4z)

Montando o sistema

x+2y-z=4 (L1)

-2x+y-z=0 (L2)

3x+3y+4z=13 (L3)

fazendo 2.L1+L2 temos o seguinte sistema

x+2y-z=4 (L1)

0+5y-3z=8 (L2)

3x+3y+4z=13 (L3)

fazendo 3.L1-L3 temos o seguinte sistema

x+2y-z=4 (L1)

0+5y-3z=8 (L2)

0+3y-7z=-1 (L3)

fazendo 3.L2-5.L3 temos o seguinte sistema

x+2y-z=4 (L1)

0+5y-3z=8 (L2)

0+0+26z=29

z = 29/26 (L3)

Substituindo z em L2 temos:

5y-3(29/26) = 8

5y - 87/26 = 8

5y= 8 + (87/26)

5y = 295/26

y = (295/26) . (1/5)

y = 59/26

Substituindo z e y em L1 temos:

x + 2(59/26) - (29/26) = 4

x + (118/26) -(29/26) = 4

x = 4 - (118/26) + (29/26)

x = (104-118+29)/26

x = 15/26

Dessa forma temos a combinação linear

t = x.u + y.v + z.w

t = (15/26)u + (59/26)v + (29/26)w

\[\eqalign{ & \alpha \cdot u + \beta \cdot v + \gamma \cdot w = t \cr & \alpha \cdot \left( {1, - 2,3} \right) + \beta \cdot \left( {2,1,3} \right) + \gamma \cdot \left( { - 1, - 1,4} \right) = \left( {4,{\text{ }}0,{\text{ }}13} \right) \cr & \left( {\alpha , - 2\alpha ,3\alpha } \right) + \left( {2\beta ,\beta ,3\beta } \right) + \left( { - \gamma , - \gamma ,4\gamma } \right) = \left( {4,{\text{ }}0,{\text{ }}13} \right) \cr & \cr & \alpha + 2\beta + 4\gamma = 4 \cr & - 2\alpha + \beta - \gamma = 0 \cr & 3\alpha + 3\beta + 4\gamma = 13 }\]

Somando duas vezes a primeira equação com a segunda, resulta que:

\[\eqalign{ & \left( {2\alpha + 4\beta + 8\gamma } \right) + \left( { - 2\alpha + \beta - \gamma } \right) = 8 + 0 \cr & 5\beta + 7\gamma = 8 \Rightarrow \beta = \dfrac{{8 - 7\gamma }}{5} }\]

Agora, somando \(-3\) vezes a primeira equação com a terceira, e relacionando com o valor de \(\beta\) obtido anteriormente, vem que:

\[\eqalign{ & \left( { - 3\alpha - 6\beta - 12\gamma } \right) + \left( {3\alpha + 3\beta + 4\gamma } \right) = - 12 + 13 \cr & - 3\beta - 8\gamma = - 1 \cr & - 3 \cdot \dfrac{{\left( {8 - 7\gamma } \right)}}{5} - 8\gamma = - 1 \cr & \dfrac{{\left( { - 24 + 21\gamma } \right)}}{5} - 8\gamma = - 1 \cr & - 24 + 21\gamma - 40\gamma = - 5 \cr & - 19\gamma = 19 \cr & \gamma = \dfrac{{19}}{{ - 19}} \cr & \boxed{\gamma = - 1} \cr & \cr & \Rightarrow \beta = \dfrac{{8 - 7\gamma }}{5} \cr & \beta = \dfrac{{8 - 7\left( { - 1} \right)}}{5} \cr & \beta = \dfrac{{8 + 7}}{5} \cr & \beta = \dfrac{{15}}{5} \cr & \boxed{\beta = 3} \cr & \cr & \Rightarrow \alpha + 2\beta + 4\gamma = 4 \cr & a = 4 - 2\beta - 4\gamma \cr & a = 4 - 2 \cdot 3 - 4 \cdot \left( { - 1} \right) \cr & a = 4 - 6 + 4 \cr & \boxed{a = 2} }\]

Portanto, tem-se que \(\boxed{t = 2 \cdot u + 3 \cdot v - w}\).