Para resolver este problema, trataremos a variável y como ma função de x, deste modo teremos \(y=y(x)\).
Com isto derivaremos a equação da circunferência em ambos os lados em relação a x, e assim teremos:
\(\frac{d}{dx}(x^2+y^2-x-4y-4)=\frac{d}{dx}0\)
\(2x+2y\cdot \frac{dy}{dx}-1-4\cdot \frac{dy}{dx}=0\)
Isolando \(\frac{dy}{dx}\) teremos:
\(\frac{dy}{dx}=\frac{1-2x}{4+4y}\)
A derivada \(\frac{dy}{dx}\) representa a inclinação da reta tangente a curva, como a reta em questão é paralela ao eixo x, logo seu coeficiente angular será zero, assim teremos:
\(\frac{dy}{dx}=0 \)
\(\frac{1-2x}{4+4y}=0\)
\(x=\frac{1}{2}\)
Os pontos da circunferência que possuem abcissa igual a \(\frac{1}{2}\)são \((\frac{1}{2},2-\frac{\sqrt33}{2})\) e \((\frac{1}{2},2+\frac{\sqrt33}{2})\).
Logo existem duas retas tangentes a circunferência, uma em cada um dos pontos, as retas tangentes são:
\(r_1:y=2-\frac{\sqrt{33}}{2}\)
\(r_2:y=2+\frac{\sqrt{33}}{2}\)
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Cálculo Vetorial e Geometria Analítica
•UNIRIO
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