Encontre o vetor tangente unitário da curva: r(t)=(cos³t)j+(sen³t)k, 0<=t<=pi/2

Whats???

Bom Lucas, estamos falando então de uma integral de superficie. Basta derivar em relação a y e em relação a z, mas você terá que parametrizar essa curva antes. Basta pensar o seguinte se substituir t=0 terá (x=0,y=1,z=0),pois cos³ (0)=1 depois quando substituir pi/2 terá  (0,0,1), o ideal é fazer o gráfico para melhor entender. Espero ter dado um caminho.

PAra encontrarmos o vetor tangente, realizaremos os cálculos abaixo:

\(\begin{align} & r(t)={{\cos }^{3}}tj+{{\sin }^{3}}tk \\ & \\ & T(t)=\frac{r'(t)}{||r'(t)||} \\ & T(t)=\frac{-3{{\cos }^{2}}t\sin t+3{{\sin }^{2}}t\cos t}{\sqrt{{{\left( -3{{\cos }^{2}}t\sin t \right)}^{2}}+{{\left( 3{{\sin }^{2}}t\cos t \right)}^{2}}}} \\ & T(t)=\left[ \frac{-3{{\cos }^{2}}t\sin t+3{{\sin }^{2}}t\cos t}{\sqrt{\left( 9{{\cos }^{4}}t{{\sin }^{2}}t \right)+\left( 9{{\sin }^{4}}t{{\cos }^{2}}t \right)}} \right]_{0}^{\pi /2} \\ & T(t)=\left[ \frac{-3{{\cos }^{2}}t\sin t+3{{\sin }^{2}}t\cos t}{\sqrt{9{{\cos }^{2}}t{{\sin }^{2}}t\left( {{\cos }^{2}}t+{{\sin }^{2}}t \right)}} \right] \\ & T(t)=\left[ \frac{-3{{\cos }^{2}}t\sin t+3{{\sin }^{2}}t\cos t}{\sqrt{9{{\cos }^{2}}t{{\sin }^{2}}t}} \right] \\ & T(t)=\left[ \frac{-3{{\cos }^{2}}t\sin t+3{{\sin }^{2}}t\cos t}{3\cos t\sin t} \right] \\ & T(t)=\frac{3\cos t\sin t(-\cos t+\sin t)}{3\cos t\sin t} \\ & T(t)=\left( -\cos t+\sin t \right)_{0}^{\pi /2} \\ & T(t)=0+1-(-1+0) \\ & T(t)=2 \\ \end{align}\ \)

Portanto, o vetor tangente será T(t)=2.