Hidraulica

Nesta questão vamos utilizar primeiramente o princípio de que um líquido possui a mesma pressão para dois pontos que estão a mesma altura. Atenção: isso é válido apenas se considerarmos o mesmo líquido.

Utilizaremos também a Lei de Stevin para encontrar a pressão de um líquido a uma dada profundidade:

\(P = \rho \cdot g \cdot h\)

Onde \(\rho \) é a densidade, ou massa específica, do líquido e h sua profundidade.

Observe a imagem:

Observe que a coluna de óleo foi colocada acima da de água, isso porque a água é mais densa (\({\rho _{água}} > {\rho _{óleo}}\)) e está em maior que quantidade que o óleo.

\({\rho _{á gua}} \cdot {h_{água}} > {\rho _{o leo}} \cdot {h_{ó leo}}\)

A diferença entre as superfícies livres da água e do óleo é a altura \(\Delta h\). Analisando a imagem, verificamos que \(\Delta h\) é a diferença entre a altura da coluna de água e a altura da coluna formada por óleo e mercúrio, ou seja,

 \(\Delta h = {h_{á gua}} - \left( {{h_{ó leo}} + {h_{Hg}}} \right)\)                                 ......(1)

Inicialmente devemos encontrar \({h_{Hg}}\).

Como podemos observar, ao traçar uma reta, os pontos 1 e 2 devem estar sujeitos à mesma pressão, pois estão na mesma altura. Logo:

 \({P_1} = {P_2}\)                                                                ......(2)

Além disso,

\({P_1} = {P_{atm}} + {\rho _{á gua}} \cdot g \cdot {h_{á gua}}\)                                   ......(3)

e

 \({P_2} = {P_{atm}} + {\rho _{ó leo}} \cdot g \cdot {h_{ó leo}} + {\rho _{Hg}} \cdot g \cdot {h_{Hg}}\)            ......(4)

Utilizando (3) e (4) em (2) temos:

\({P_{atm}} + {\rho _{á gua}} \cdot g \cdot {h_{á gua}} = {P_{atm}} + {\rho _{ó leo}} \cdot g \cdot {h_{ó leo}} + {\rho _{Hg}} \cdot g \cdot {h_{Hg}}\)

Cortando \({P_{atm}}\) em ambos os lados e dividindo por g:

\({\rho _{á gua}} \cdot {h_{á gua}} = {\rho _{ó leo}} \cdot {h_{ó leo}} + {\rho _{Hg}} \cdot {h_{Hg}}\)

Isolando a incógnita \({h_{Hg}}\) teremos:

\({\rho _{Hg}} \cdot {h_{Hg}} = {\rho _{á gua}} \cdot {h_{á gua}} - {\rho _{ó leo}} \cdot {h_{ó leo}}\)

\( \Rightarrow {h_{Hg}} = \frac{{{\rho _{á gua}} \cdot {h_{á gua}} - {\rho _{ó leo}} \cdot {h_{ó leo}}}}{{{\rho _{Hg}}}}\)                           ......(5)

Deve ser conhecido pelo estudante, ou dado no livro, que \({\rho _{água}} = 1{\text{ g/c}}{{\text{m}}^3}\) e \({\rho _{Hg}} = 13,6{\text{ g/c}}{{\text{m}}^3}\). No exercício é fornecido o peso específico relativo do óleo em relação á água, para encontrar a densidade do óleo basta multiplicarmos \({\rho _{á gua}}\) vezes o peso específico relativo do óleo:

\(\begin{gathered} {\rho _{óleo}} = 0,8 \cdot {\rho _{á gua}} \\ = 0,8{\text{ g/c}}{{\text{m}}^3} \\ \end{gathered} \)

Além disso, \({h_{á gua}} = 75{\text{ cm}}\) e \({h_{ó leo}} = 45{\text{ cm}}\), respeitando as unidades utilizadas nas densidades.

Substituindo em (5), encontramos:

\(\Delta h \cong 27,13{\text{ cm}}\)

E voltando para (1), obtemos por fim:

\(\boxed{\Delta h \cong 271,3{\text{ mm}}}\)