Curva de nível nada mais é do que as curvas obtidas quando fixamos a cota, isto é, o valor de z. Vamos fixar \(z=c\) e desenvolver as contas de forma a obter as curvas de nível:

\(c={xy\over x^2+y^2}\)

Multiplicando pelo denominador, temos:

\(c(x^2+y^2)=xy\)

Escrevendo a equação no formato de uma equação de segundo grau na variável \(y\), temos:

\(cy^2-xy+cx^2=0\)

Resolvendo, temos:

\(y={x\pm\sqrt{x^2-4c^2x^2}\over2c}={x\pm\sqrt{x^2(1-4c^2)}\over2c}\)

Tirando o x para fora da raiz, temos:

\(y={x\pm x\sqrt{1-4c^2}\over2c}\)

Fatorando, temos, finalmente:

\(\boxed{y=\left({1\pm \sqrt{1-4c^2}\over2c}\right)x}\)