aplique o método de newton-raphson à equeção: X^3 - 2X^2 - 3X + 10 = 0 com X0 = 1.9

Neste exercício, tem-se o seguinte:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} f(x)=x^3-2x^2-3x+10 \\ y=0 \end{matrix} \right.\)

Tem-se \(y=0\) porque queremos encontrar o zero da função \(f(x)\).

Antes de começar o processo iterativo, tem-se que a derivada de \(f(x)\) é:

\(\Longrightarrow {\partial f(x) \over \partial x}= {\partial \over \partial x} (x^3-2x^2-3x+10 )\)

\(\Longrightarrow f'(x)= 3x^2-4x-3\)

As iterações serão realizadas até que \(\Delta y\) atenda a uma tolerância conforme apresentada a seguir:

\(\Longrightarrow |\Delta y|<0,01\)

1. Primeira iteração: com \(x_0=1,9\), os valores de \( f(x_0)\) e \( f'(x_0)\) são:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} f(x_0)=x_0^3-2x_0^2-3x_0+10 = (1,9)^3-2\cdot (1,9)^2-3\cdot (1,9)+10 \\ f'(x_0)= 3x_0^2-4x_0-3 = 3\cdot (1,9)^2-4\cdot (1,9)-3 \end{matrix} \right.\)    

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} \underline { f(x_0)=3,939 } \\ \underline { f'(x_0)= 0,23 } \end{matrix} \right.\)

Então, o valor de \(\Delta y\) é:

\(\Longrightarrow \Delta y = y - f(x_0)\)

\(\Longrightarrow \Delta y = 0 - 3,939\)

\(\Longrightarrow \underline{ \Delta y = - 3,939}\)

Com isso, o valor de \(\Delta x\) é:

\(\Longrightarrow \Delta x = \big [f'(x_0) \big ]^{-1} \Delta y \)

\(\Longrightarrow \Delta x = \big [0,23 \big ]^{-1} (-3,939)\)

\(\Longrightarrow \underline { \Delta x =-17,126}\)

Portanto, o valor de \(x_1\) é:

\(\Longrightarrow x_1 = x_0 + \Delta x\)

\(\Longrightarrow x_1 = 1,9-17,126\)

\(\Longrightarrow \underline { x_1 = -15,226}\)

2. Segunda iteração: com \(x_1=-15,226\), os valores de \( f(x_1)\) e \( f'(x_1)\) são:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} f(x_1)=x_1^3-2x_1^2-3x_1+10 = (-15,226)^3-2\cdot (-15,226)^2-3\cdot (-15,226)+10 \\ f'(x_1)= 3x_1^2-4x_1-3 = 3\cdot (-15,226)^2-4\cdot (-15,226)-3 \end{matrix} \right.\)

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} \underline { f(x_1)=-3.937,91 } \\ \underline { f'(x_1)= 753,41 } \end{matrix} \right.\)

Então, o novo valor de \(\Delta y\) é:

\(\Longrightarrow \Delta y = y - f(x_1)\)

\(\Longrightarrow \Delta y = 0-(-3.937,91)\)

\(\Longrightarrow \underline { \Delta y = 3.937,91}\)

Com isso, o novo valor de \(\Delta x\) é:

\(\Longrightarrow \Delta x = \big [f'(x_1) \big ]^{-1} \Delta y \)

\(\Longrightarrow \Delta x = \big [753,41 \big ]^{-1} \cdot (3.937,91)\)

\(\Longrightarrow \underline { \Delta x = 5,227}\)

Portanto, o valor de \(x_2\) é:

\(\Longrightarrow x_2 = x_1 + \Delta x\)

\(\Longrightarrow x_2 = -15,226 + 5,227\)

\(\Longrightarrow \underline { x_2 = -10}\)

3. Terceira iteração: continuando as iterações, tem-se os seguintes valores:

Na nona iteração, tem-se \(| \Delta y|=0<0,01\), ou seja, a tolerância foi atendida. Portanto, pelo Método de Newton-Raphson, a solução da função \(f(x)=x^3-2x^2-3x+10 \) é:

\(\Longrightarrow \fbox {$ x_8=-2 $}\)