Entre todas as latas cilíndricas de volume 1 litro, raio da base r e altura h, qual a que tem menor área superficial.

Area do cilindro → A = 2πr² + 2πrh 

Volume do cilindro → V = πr²*h

Sabemos que 1l = 1000cm³ 

Daí, temos que 

V = πr²*h 

1000 = πr²*h  →   h = 1000 / (π * r²)  

Substituindo esse "h" na formula da área, temos que :

 A = 2πr² + 2000/r 

A equação da área será mínima quando sua derivada for igual a zero. Assim, devemos primeiro achar a derivada de A em função de r :

A = 2πr² + 2000/r 

A' = 2r* 2π -2000/r²  = 4πr - 2000/r² 

Igualando a derivada a zero, temos que 

4πr - 2000/r² = 0

4πr³ = 2000 
r³ = 2000/ 4π 
r³ = 500/π 
r = ³√(500/π) 
r = 5,42cm 
 

Substituiremos esse valor na formula do volume para encontrar  a altura.

V = πr²*h 

1000 = π * 5,42² * h 
1000 = 92,29 * h 
h = 1000 / 92,29 
h = 10,84cm 

Logo, a menor área será quando r = 5,42cm  e  h = 10,84cm 

A) Sendo a área da circunferência calculara por: 

Ab = π . r² 

Primeira lata: raio = 9/2 = 4.5 cm [dividimos por 2 pq o exercicio deu o diâmetro!] 

Ab1 = 3,1 * (4.5)² = 62.775 cm² 

Segunda lata: raio = 8,24/2 = 4,12 cm

Ab2 = 3.1 * (4,12)² = 52.62 cm²

B) Volume = 502,9 cm² 

Fazendo a divisão: 

Primeira lata:  502,9/62.775 = 8,011 cm

Segunda lata: 502,9/52.62 = 9,55 cm

C)  a medida do volume do cilindro dividida pela área da base dá como resultado a altura do cilindro.

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