Classifique a quádrica central xy + xz + yz = 1/2 .

Trata-se de um hiperboloide de duas folhas. É possível enxergar isso zerando cada componente individualmente para observar a cônica que surge:

\(\boxed{x = 0 \to yz = \frac{1}{2} \ \text{hipérbole} \\ y = 0 \to xz = \frac{1}{2} \ \text{hipérbole} \\ z = 0 \to xy = \frac{1}{2} \ \text{hipérbole}}\)

Primeiramente, vamos montar a seguinte matriz:

De  temos que:

a = 0, b = 0, c = 0, d = 1, e = 1, f = 1.

Portanto, 

Precisamos calcular o polinômio característico, ou seja, 

p(α) = det(λI3 - A)

sendo I3 a matriz identidade de ordem 3.

Então, 

As raízes desse polinômio característico são:

 e 

e são autovalores de A.

Daí, temos que substituir cada autovalor na matriz p(α) para encontramos os autovetores, e depois escalonar a matriz para achar os valores de x, y e z:

Com esse valor, encontraremos que x = y = z.

Então, um autovetor será: 

ou seja, 

Com esse valor encontraremos x = -y -z

Então, temos dois autovetores: (-y-z,y,z) = y(-1,1,0) + z(-1,0,1)

 e 

Com isso, vamos montar a matriz P com os autovetores e uma matriz D com os autovalores

A quádrica na foma matricial será igual a:

Como g = h = k = 0, então, temos que:

Multiplicando:

ou seja, a quádrica central é um Hiperboloide de Duas Folhas.