Demonstrar que w e u são perpendiculares

w e u são perpendiculares se e somente se <w,u> = 0. 

Multiplicando escalarmente por u dos dois lados,

<u,w> = <w,u> = <u,v> - [(<u,v>/<u,u>) <u,u>] = <u,v> - <u,v> = 0.

Obrigada!

Vamos mostrar que os vetores $\vec u$ e $\vec w$ são perpendiculares, sabendo que:

$$\vec w=\vec v-\dfrac{\left<\vec u,\vec v\right>}{\left<\vec u,\vec u\right>}\vec u$$

Para demonstrar o que se pede, vamos calcular o produto escalar entre os dois vetores, lembrando que vetores perpendiculares implicam em produto escalar nulo:

$$\left<\vec w,\vec u\right>=\left<\vec v-\dfrac{\left<\vec u,\vec v\right>}{\left<\vec u,\vec u\right>}\vec u,\vec u\right>=\left<\vec v,\vec u\right>-\left<\dfrac{\left<\vec u,\vec v\right>}{\left<\vec u,\vec u\right>}\vec u,\vec u\right>=\left<\vec v,\vec u\right>-\dfrac{\left<\vec u,\vec v\right>}{\left<\vec u,\vec u\right>}\left<\vec u,\vec u\right>$$

Além de simplificarmos a fração, lembre-se que o produto escalar é comutativo, isto é, $\left<\vec u,\vec v\right>=\left<\vec v,\vec u\right>$, então:

$$\left<\vec w,\vec u\right>=\left<\vec v,\vec u\right>-\left<\vec v,\vec u\right>=0$$

Logo $\vec u$ e $\vec w$ são perpendiculares:

$$\boxed{\left<\vec w,\vec u\right>=0}$$