Determinar o conjunto de m para os quais

se x=1, f(x)=m+2m-4+m^2
logo vc faz: m^2 + 3m -4 < 0
joga na igualdade pra achar os pontos, m^2 + 3m - 4 = 0 ; com isso vai achar 1 e -4.
fazendo um estudo de sinal:

     -4       1     

+ | 0 | - | 0 |  +

logo  {m∈R / m<-4 e m>1}

Olá Igor...Muito grato, no gabrito só mudou o sinal de m para m<1. Mas entendi perfeitamente o que colocou,

Com \(x=1\), tem-se que:

\(\Longrightarrow f(1)=m\cdot 1^2 + 2(m-2)\cdot 1 + m^2\)

\(\Longrightarrow f(1)=m + 2m-4 + m^2\)

\(\Longrightarrow f(1)=m^2+3m-4\)

A equação anterior está no formato \(am^2+bm+c\). Portanto, pode-se utilizar o método de Bhaskara para encontrar os valores de \(m\) para os quais \(f(1)\) é zero.

Com \(a=1\), \(b=3\) e \(c=-4\), o valor de \(m\) é:

\(\Longrightarrow m = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\)

\(\Longrightarrow m = {-3 \pm \sqrt{3^2-4\cdot 1\cdot(-4)} \over 2\cdot 1}\)

\(\Longrightarrow m = {-3 \pm \sqrt{9+16} \over 2}\)

\(\Longrightarrow m = {-3 \pm 5 \over 2}\)   \(\rightarrow \left \{ \begin{matrix} m_1=1 \\ m_2 = -4 \end{matrix} \right.\)

Como \(a>0\), a função \(f(1)=m^2+3m-4\) possui valor mínimo. Agora, vamos encontrar o valor de \(m\) para os quais \(f(1)\) é mínimo. Derivando a função , esse valor de \(m\) é:

\(\Longrightarrow {df(1) \over dm} = 0\)

\(\Longrightarrow {d \over dm}(m^2 + 3m - 4) = 0\)

\(\Longrightarrow 2m + 3=0\)

\(\Longrightarrow m_3=-1,5\)

Como esperado, o valor de \(m_3\) está entre \(m_1\) e \(m_2\). Portanto, para \(x=1\), \(f(x)\) é negativo quando:

\(\Longrightarrow m_2 \le m \le m_1\)

\(\Longrightarrow \fbox {$ -4 \le m \le 1 $}\)