Limite indetermidado

Definindo 
y = lim (1 - 2x) ^ (1/x) 
Aplicando ln em ambas as partes temos:

Ln(y) = Ln[ lim (1- 2x) ^ (1/x))] = lim Ln( (1- 2x) ^ (1/x)) 

Pela regra de limites temos

= lim (1/x) Ln(1 - 2x) = lim Ln(1 - 2x) / x 

Se tentarmos substituir x = 0 nessa equação, temos uma indeterminação 0/0, então aplicamos L' Hoptial.
Temos:

y = lim -2 / (1 - 2x) 

substituindo x = 0 para obter -2/1 = -2
 
mas temos Ln[y] = -2 e y é o valor do limite, então aplicando exponencial em ambos os lados temos:
y = e^(-2) 

Sabendo que limite de \((1+{1\over x})^x=e\) com x tendendo a 0.

Vamos transformar o limite do enunciado na forma acima. Com isso:

\({1\over x}=u\\ {1\over u}=x\\ ({1-{2\over u}})^u\)

Realizando nova troca de variáveis:

\({1-{2\over u}} = {1+{1\over a}} \\ u = -2a\)

\((1+{1\over a})^{-2a}=((1+{1\over a})^{a})^{-2}\)

Resposta \(e^{-2}\)