Como fazer essa questão de GA (cônicas)?

NAO SEI

Quando a espaçonave está a 5.107 km do planeta investigado, sabemos que o segmento de reta que os conecta forma um angulo de π/3 (ou 60o) com o eixo da parábola. Determine a menor distância entre estes durante tal trajetória para que sejam tiradas as melhores imagens do planeta em questão. ˜ Questão 2. ˜ Tendo em vista que tal planeta está localizado nas coordenadas P = (0, 5.103 ), encontre a equação da trajetória parabólica e determine todos os principais elementos desta curva.

Nesse exercício vamos estudar o conceito de parábola e suas propriedades.

Nosso problema é descrito pela seguinte imagem:

Fonte: https://pir2.forumeiros.com/t37166-parabola

É importante lembrar a definição de parábola: curva formada pelos pontos que equidistam do foco $F$ e da diretriz. Tomemos o ponto estudado como o ponto $P_1$ da imagem. A menor distância entre a espaçonave e o planeta acontece quando ela passa pelo vértice da parábola. Podemos escrever a distância entre o foco e a diretriz de duas formas:

$$d_{F,d}=d_{F,V}+ d_{V,d}=d_{F,P}\cos\theta+d_{P,d}$$

Substituindo nossos dados, temos:

$$2d_{F,V}=5107\cos60^o+5107=7660,5\Rightarrow\boxed{d_{F,V}=3830,25\ km}$$

Sabendo que o planeta está localizado em $F=(0;5103)$, vamos determinar a equação da parábola e seus principais elementos. Para isso novamente vamos usar a definição:

$$d_{X,F}=y+d_{F,V}\Rightarrow \sqrt{x^2+(y-y_F)^2}=y+y_F$$

Elevando ao quadrado, temos:

$$x^2+(y^2-2yy_F+y_F^2)=y^2+2y y_F + y_F^2$$

Simplificando:

$$x^2-2yy_F=2y y_F\Rightarrow y = {1\over4y_F}x^2\Rightarrow \boxed{y={x^2\over15321}}$$

O foco da parábola é a posição do planeta:

$$\boxed{F=(0;5103)}$$

E a diretriz:

$$\boxed{y_d=-5103}$$

Quando a espaçonave está a 5.107 km do planeta investigado, sabemos que o segmento de reta que os conecta forma um angulo de π/3 (ou 60o) com o eixo da parábola. Determine a menor distância entre estes durante tal trajetória para que sejam tiradas as melhores imagens do planeta em questão. ˜ Questão 2. ˜ Tendo em vista que tal planeta está localizado nas coordenadas P = (0, 5.103 ), encontre a equação da trajetória parabólica e determine todos os principais elementos desta curva.

Nesse exercício vamos estudar o conceito de parábola e suas propriedades.

Nosso problema é descrito pela seguinte imagem:

Fonte: https://pir2.forumeiros.com/t37166-parabola

É importante lembrar a definição de parábola: curva formada pelos pontos que equidistam do foco $F$ e da diretriz. Tomemos o ponto estudado como o ponto $P_1$ da imagem. A menor distância entre a espaçonave e o planeta acontece quando ela passa pelo vértice da parábola. Podemos escrever a distância entre o foco e a diretriz de duas formas:

$$d_{F,d}=d_{F,V}+ d_{V,d}=d_{F,P}\cos\theta+d_{P,d}$$

Substituindo nossos dados, temos:

$$2d_{F,V}=5107\cos60^o+5107=7660,5\Rightarrow\boxed{d_{F,V}=3830,25\ km}$$

Sabendo que o planeta está localizado em $F=(0;5103)$, vamos determinar a equação da parábola e seus principais elementos. Para isso novamente vamos usar a definição:

$$d_{X,F}=y+d_{F,V}\Rightarrow \sqrt{x^2+(y-y_F)^2}=y+y_F$$

Elevando ao quadrado, temos:

$$x^2+(y^2-2yy_F+y_F^2)=y^2+2y y_F + y_F^2$$

Simplificando:

$$x^2-2yy_F=2y y_F\Rightarrow y = {1\over4y_F}x^2\Rightarrow \boxed{y={x^2\over15321}}$$

O foco da parábola é a posição do planeta:

$$\boxed{F=(0;5103)}$$

E a diretriz:

$$\boxed{y_d=-5103}$$