Conjuntos convexos

Demonstração. Demonstramos apenas o caso da soma. 
Sejam a, b ∈ Si + Sj
. Então a = a1 + a2 e b = b1 + b2, com a1, b1 ∈ Si e
a2, b2 ∈ Sj
. Para 0 ≤ λ ≤ 1,
λa + (1 − λ)b = λ(a1 + a2) + (1 − λ)(b1 + b2)
= λa1 + λa2 + (1 − λ)b1 + (1 − λ)b2
= λa1 + (1 − λ)b1 + λa2 + (1 − λ)b2
= [λa1 + (1 − λ)b1] + [λa2 + (1 − λ)b2] ,
que está em Si + Sj

bela resolução

Um conjunto é dito convexo se para dois pontos pertencentes ao conjunto, o seguimento que liga os dois pontos também está contido no conjunto. Matematicamente, um conjunto é convexo se, e somente se, parta tivermos (o mesmo vale para .

Vamos demonstrar para o caso dado através da redução ao absurdo. Suponha que , para o conjunto dado não seja convexo, então teríamos para algum e : . Mas isso implica que e , contradizendo que são conjuntos convexos, uma contradição!