Lista 2 - Espaços Vetoriais Euclidianos - Produto interno, conjuntos ortogonais e ortonormais, complemento ortogonal

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FUNDAÇÃO ALAGOANA DE PESQUISA, EDUCAÇÃO E CULTURA 
FACULDADE DE TECNOLOGIA DE ALAGOAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
CURSO:ENG. CIVIL DISCIPLINA: ÁLGEBRA LINEAR 
PROFESSOR:GREGORIO TOMAS Turma: DATA:01/09/2015 
 
LISTA 2 ÁLGEBRA LINEAR – ESPAÇOS VETORIAIS EUCLIDIANOS 
 
1) Sejam 𝑉 = ℝ3 e os vetores 𝑢 = (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) e 𝑣 = (𝑥2, 𝑦2, 𝑧2). 
Verificar quais das seguintes funções são produtos internos sobre ℝ3. (para aqueles que não são 
produtos internos, citar os axiomas que não se verificam e um contraexemplo.) 
 
a) 𝑢 ∙ 𝑣 = 3𝑥1𝑥2 + 5𝑦1𝑦2 + 2𝑧1𝑧2 
b) 𝑢 ∙ 𝑣 = 𝑥1𝑥2 + 𝑦1𝑦2 − 𝑧1𝑧2 
 
2) Seja a função 𝑓: ℝ2 × ℝ2 → M(1,1) 
((𝑥1, 𝑦1), (𝑥2, 𝑦2)) ⟼ [𝑥1 𝑦1] [
1 1
1 2
] [
𝑥2
𝑦2
]. 
Mostrar que 𝑓 é um produto interno em ℝ2 e calcular: 
 
a) A norma do vetor (1, 3); 
b) Um vetor unitário a partir de (1, 3); 
c) Um vetor ortogonal a (1, 3). 
 
3) Consideremos, no ℝ3, o seguinte produto interno: 
𝑢 ∙ 𝑣 = 2𝑥1𝑥2 + 𝑦1𝑦2 + 4𝑧1𝑧2. 
Determinar, em relação a esse produto interno, um vetor unitário simultaneamente ortogonal aos 
vetores 𝑢 = (1, −1,2) e 𝑣 = (2,1,0). 
 
4) Determinar um vetor (𝑎, 𝑏, 𝑐) para que o conjunto 𝐵 = {(1, −3,2), (2,2,2), (𝑎, 𝑏, 𝑐)} seja uma 
base ortogonal de ℝ3 em relação ao produto interno usual. Construir a partir de B uma base 
ortonormal. 
 
5) Seja 𝑉 = ℝ3 munido do produto interno usual e 𝐴 = {(1, −1, −2)} ⊂ 𝑉. Encontrar uma base 
ortogonal 𝐵 de 𝑉 tal que 𝐴 ⊂ 𝐵. 
 
 
 
6) O conjunto 𝐵 = {(2, −1), (𝑘, 1)} é uma base ortogonal do ℝ2 em relação ao produto interno 
 
(𝑥1, 𝑦1) ∙ (𝑥2, 𝑦2) = 2𝑥1𝑥2 + 𝑥1𝑦2 + 𝑥2𝑦1 + 𝑦1𝑦2. 
 
Determinar o valor de 𝑘 e obter, a partir de 𝐵, uma base ortonormal. 
 
7) Em relação ao produto interno usual, determinar uma base ortonormal dos seguintes subespaços 
do ℝ3: 
 
a) 𝑆 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3/ 𝑦 − 2𝑧 = 0} 
b) 𝑆 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3/ 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0} 
 
8) Consideremos as seguintes bases do ℝ2 e do ℝ3: 
 
a) 𝐵 = {(3,4), (1,2)} 
b) 𝐵 = {(1,0,0), (0,1,1), (0,1,2)} 
 
Ortonormalizar essas bases pelo processo de Gram-Schmidt, segundo o produto interno usual de 
cada espaço. 
 
9) Seja 𝑉 = ℝ3 munido do produto interno usual e 𝐵 = {(1,2, −3), (2, −4,2)}. Determine: 
 
a) O subespaço 𝑆 gerado por 𝐵. 
b) O subespaço 𝑆⊥. 
 
 
 
Referência: 
 
 ANTON, Howard; RORRES, Chris. Álgebra Linear com Aplicações. 8ª ed. Porto Alegre: Bookman, 2001. 
 BOLDRINI, J. L., COSTA, S. I. R., FIGUEIREDO, V. L., WETZLER, H. G. Álgebra Linear. São Paulo: 
Editora Harbra, 1980. 
 LIPSHUTZ, S. Coleção SCHAUM: Álgebra Linear. São Paulo: McGraw-Hill. 1978. 
 CALLIOLI, Carlos A. Et al. Álgebra Linear e Aplicações. São Paulo: Atual, 1990. 
 STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Álgebra Linear e Geometria Analítica. 1ª ed. São Paulo: Pearson, 2009.