Aplicações de derivada

Questão a

Essa é a mais simples, basta derivar:

Vamos simplificar:

\(P(t) = {(20-6)\over (t+1)}\)

\(P(t) = 14*(t+1)^{-1}\)

Regra da cadeia

\(P'(t) = 14*(-1)*(t+1)^{-2}*1\)

\(P'(t) = -{14 \over (t+1)^{2}}\)

Questão b

A derivada é a taxa, então basta substituir t por 1 na derivada:

\(P'(1) = -{14 \over (1+1)^{2}}\)

\(P'(1) = -{3 \over 5}\)

Questão c

Para achar a taxa no 2º ano é só substituir t por 2 na derivada:

\(P'(2) = -{14 \over (2+1)^{2}}\)

\(P'(2) = -{14 \over 9}\)

Questão d

Para achar a taxa no 9º ano é só substituir t por 9 na derivada:

\(P'(9) = -{14 \over (9+1)^{2}}\)

\(P'(9) = -{7 \over 50}\)

a)

Sendo \(P(t) = 20-{6 \over t+1}\), a taxa de variação da população em relação ao tempo é:

\(\Longrightarrow P'(t) = \Big ( 20-{6 \over t+1} \Big ) '\)

\(\Longrightarrow P'(t) = \Big ( 20-6(t+1)^{-1}\Big ) '\)

\(\Longrightarrow P'(t) = 0-6\big ((t+1)^{-1} \big )'\)

\(\Longrightarrow P'(t) = -6\cdot(-1)(t+1)^{-1-1} \cdot(t+1)'\)

\(\Longrightarrow P'(t) = 6(t+1)^{-2} \cdot 1\)

\(\Longrightarrow \fbox {$ P'(t) = { 6 \over (t+1)^{2} } \, \mathrm{milhares \, de \, habitantes /ano } $}\)

b)

Substituindo \(t=1 \, \mathrm {ano}\) em \(P'(t)\), a taxa de crescimento da popoulação é:

\(\Longrightarrow P'(t) \Big |_{t=1}= { 6 \over (t+1)^{2} }\)

\(\Longrightarrow P'(t) \Big |_{t=1}= { 6 \over (1+1)^{2} }\)

\(\Longrightarrow P'(t) \Big |_{t=1}= { 6 \over (2)^{2} }\)

\(\Longrightarrow P'(t) \Big |_{t=1}= 1,5 \, \mathrm{milhares \, de \, habitantes /ano }\)

\(\Longrightarrow \fbox {$ P'(t) \Big |_{t=1}= 1.500 \, \mathrm{ habitantes /ano } $}\)

c)

No segundo ano, o crescimento da população é:

\(\Longrightarrow \Delta P_{1 \to 2} =P(2)-P(1)\)

\(\Longrightarrow \Delta P_{1 \to 2} =(20-{6 \over 2+1})-(20-{6 \over 1+1})\)

\(\Longrightarrow \Delta P_{1 \to 2} =(20-2)-(20-3)\)

\(\Longrightarrow \Delta P_{1 \to 2} =(18)-(17)\)

\(\Longrightarrow \Delta P_{1 \to 2} =1 \, \mathrm{milhares \, de \, habitantes}\)

\(\Longrightarrow \fbox {$ \Delta P_{1 \to 2} =1.000 \, \mathrm{habitantes} $}\)

d)

A taxa de crescimento da população daqui a 9 anos é:

\(\Longrightarrow P'(t) \Big |_{t=9}= { 6 \over (t+1)^{2} }\)

\(\Longrightarrow P'(t) \Big |_{t=9}= { 6 \over (9+1)^{2} }\)

\(\Longrightarrow P'(t) \Big |_{t=9}= { 6 \over (10)^{2} }\)

\(\Longrightarrow P'(t) \Big |_{t=9}= 0,06 \, \mathrm{milhares \, de \, habitantes /ano }\)

\(\Longrightarrow \fbox {$ P'(t) \Big |_{t=9}= 60 \, \mathrm{ habitantes /ano } $}\)