A interseção do plano Pi= 3x+2y-4z-12=0 com os planos coordenados forma um tetraedro. DETERMINE o valor do referido tetraedro?

A altura do tetraedro é igual ao módulo da coordenada y quando x e z são iguais a zero.

Quando x e y são iguais a 0 podemos encontrar o valor de z, o módulo desse valor será igual a um dos lados do triângulo que compõe a base

E quando y e z forem iguais a zero, o módulo de x corresponderá ao outro lado da base

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Com isso podemos calcular a área da base do tetraedro e depois o seu volume

Calculando o volume

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Nos planos coordenados, duas coordenadas são nulas, enquanto uma terceira varia, isto é, suas coordenadas são do tipo  ,  ou  .

No caso de  teremos   e  , logo:

Logo, ponto  .

No caso de  teremos   e  , logo:

Logo, ponto  .

Por fim, no caso de  , teremos   e  , logo:

Logo, ponto  .

Assim, teremos o tetraedro da figura abaixo, no qual o eixo verde é o  , o eixo vermelho é o  , e o eixo azul é o  .

Imagem 1.

Para calcularmos o volume do tetraedro, iniciaremos calculando sua área de sua base:

Agora, calcularemos seu volume:

Portanto, o volume do tetraedro é de   unidades de volume.

Nos planos coordenados, duas coordenadas são nulas, enquanto uma terceira varia, isto é, suas coordenadas são do tipo , ou .

No caso de teremos e , logo:

Logo, ponto .

No caso de teremos e , logo:

Logo, ponto .

Por fim, no caso de , teremos e , logo:

Logo, ponto .

Assim, teremos o tetraedro da figura abaixo, no qual o eixo verde é o , o eixo vermelho é o , e o eixo azul é o .

Imagem 1.

Para calcularmos o volume do tetraedro, iniciaremos calculando sua área de sua base:

Agora, calcularemos seu volume:

Portanto, o volume do tetraedro é de unidades de volume.