Questão resolvida - Determinar os pontos extremos da função f(x,y)3xyx-3x - Cálculo II

Prévia do material em texto

Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• Determinar os pontos extremos da função .f x, y = 3xy² + x³ - 3x( )
 
Resolução:
 
Os pontos extremos de uma função de 2 variáveis são aqueles onde as derivadas parciais 
são iguais a zero ou onde a função não seja constante, ou seja;f(x, y)
 
x, y = 0 e x, y = 0
𝜕f
𝜕x
( )
𝜕f
𝜕y
( )
A expresão apresentada no enunciado é uma função polinomiais sem restrições no domínio, 
assim, devemos encontrar as derivadas parciais, e igualar a zero, para descobrir seus 
pontos críticos;
 
seja; f(x, y) = z = 3xy² + x³ - 3x
 
Então : x, y = 3y + 3x - 3 = 0 e x, y = 2 ⋅ 3xy = 6xy = 0
𝜕f
𝜕x
( ) 2 2
𝜕f
𝜕y
( )
 
Assim, temos o sistema;
 
3y + 3x - 3 = 0 2 2
6xy = 0
 
Resolvendo, fica;
 
6xy = 0 xy = xy = 0; esse produto infere a existência de 2 soluções →
0
6
→
possíveis : x = 0 ou y = 0
Assim, substituindo essas 2 solução na primeira equação do sistema, fica;
 
x = 0 3y + 3 0 - 3 = 0 3y + 0 = 3 3y = 3 y = y = 1→ 2 ( )2 → 2 → 2 → 2
3
3
→
2
y = ± y = ±1→ 1 →
 
 
y = 0 3 0 + 3x - 3 = 0 0 + 3x = 3 3x = 3 x = x = 1→ ( )2 2 → 2 → 2 → 2
3
3
→
2
 
 
 
x = ± x = ±1→ 1 →
 
Com isso, temos que os pontos críticos da função f x, y são :( )
 
0, 1 ; 0, -1 ; 1, 0 e -1, 0( ) ( ) ( ) ( )
 
 
(Resposta )