Determine uma solução do problema de valor inicial y'' + 4y = 0; y(0) = 0, y'(0) = 1

yx=C1sen2x+C2cos2x

y0=0  = C1sen0+C2cos0

C2=0

y'x=C1[sen2x]'

y'x=C1[cos2x]*(2)

y'0=1=2*C1cos2x

C1=12cos⁡(2x)

yx=sen(2x)2cos⁡(2x)

Trata-se de um problema de valor inicial (PVI).

Queremos encontrar os valores das constantes C1 e C2. Para isso substituímos os valores de y(0) na solução geral dada e depois substituímos os valor de y’(0) na primeira derivada da solução geral.

Primeiro vamos derivar a solução geral:  . Agora vamos resolver simultaneamente y’(0) e y(0):

  Com isso:    

Pela substituição de y’(0) pelo seu valor e substituindo x nas equações temos de imediato o valor de C2, isolando C1 temos o a solução do problema do valor inicial.

 Substituindo C1 e C2 na solução geral temos uma solução específica:

Trata-se de um problema de valor inicial (PVI).

Queremos encontrar os valores das constantes C1 e C2. Para isso substituímos os valores de y(0) na solução geral dada e depois substituímos os valor de y’(0) na primeira derivada da solução geral.

Primeiro vamos derivar a solução geral: . Agora vamos resolver simultaneamente y’(0) e y(0):

Com isso:

Pela substituição de y’(0) pelo seu valor e substituindo x nas equações temos de imediato o valor de C2, isolando C1 temos o a solução do problema do valor inicial.

Substituindo C1 e C2 na solução geral temos uma solução específica: