Determine o fator integrante que transforma a EDO dy - (e2x + y -1)dx = 0 em uma equação exata

Olá!

Seja a EDO: \(dy-\left(e^{2x}+y-1\right)dx=0\). Vamos dividir ela por dx:

\(\frac{d}{dx}\left(y\right)-\left(e^{2x}+y-1\right)=0\)

Agora, reescreveremos na forma de uma EDO linear, do tipo \(y'\left(x\right)+p\left(x\right)\cdot y=q\left(x\right)\):

\(p\left(x\right)=-1\\q\left(x\right)=e^{2x}-1\)

Ou seja:

\(\frac{d}{dx}\left(y\right)-1\cdot \:y=e^{2x}-1\)

Observe que a equação pode ser reescrita se multiplicarmos tudo por \(μ\left(x\right)=e^{-x}\):

\(e^{-x}\frac{d}{dx}\left(y\right)-e^{-x}y=e^x-e^{-x}\)

Logo, \(μ\left(x\right)=e^{-x}\) é o fator integrante desta EDO.

Bons estudos!