Determine a solução da equação diferencial exata (x3 + y2)dx + (2xy + cosy)dy.

Olá!

A equação que queremos resolver é: \(\left(x^3+y^2\right)dx+\left(2xy+\cos \left(y\right)\right)dy=0\)

Esta EDO não possui solução definida no campo dos reais. Vamos trabalhar então com a equação diferencial na forma exata:

\(\:M\left(x,\:y\right)+N\left(x,\:y\right)y'=0\)

Onde temos que:

\(\Psi _x\left(x,\:y\right)=M\left(x,\:y\right)=x^3+y^2,\:\quad \Psi _y\left(x,\:y\right)=N\left(x,\:y\right)=2xy+\cos \left(y\right)\)

Observe que:

\(\Psi _x+\Psi _y\cdot \:y'=\frac{d\Psi \left(x,\:y\right)}{dx}=0\)

Então a solução geral será:

\(\Psi \left(x,\:y\right)=C\)

Agora, \(Ψ\left(x,\:y\right)\) através da seguinte integração:

\(\Psi =\int N\left(x,\:y\right)dy\)

Agora teremos então:

\(\int \:Ndy=\int \:2xy+\cos \left(y\right)dy\\ \int \:Ndy=\int \:2xy+\cos \left(y\right)dy\\ \int \:Ndy=\sin \left(y\right)+xy^2+C\)

Como tratamos x como constante, escreveremos: \(Ψ\left(x,\:y\right)=\sin \left(y\right)+xy^2+η\left(x\right)\).

Agora, trabalharemos com \(\Psi _x=M\left(x,\:y\right)=x^3+y^2\). Faremos \(\frac{\partial \:}{\partial \:x}\left(\sin \left(y\right)+xy^2+η\left(x\right)\right)\) e compararemos com \(x^3+y^2\) para encontrar \(η\left(x\right)\):

\(\frac{\partial \:}{\partial \:x}\left(\sin \left(y\right)+xy^2+η\left(x\right)\right)=y^2+\frac{\partial \:}{\partial \:x}\left(η\left(x\right)\right)\)

Temos que, portanto:

\(\frac{d}{dx}\left(η\left(x\right)\right)=x^3\)

E, Logo:

\(η\left(x\right)=\frac{x^4}{4}+c_1\)

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Assim, encontramos que:

\(Ψ\left(x,\:y\right)=\sin \left(y\right)+xy^2+\left(\frac{x^4}{4}+c_1\right)\)

E, a solução final do exercício é:

\(\sin \left(y\right)+xy^2+\frac{x^4}{4}=c_1\)