Questão resolvida - Encontre a solução geral da equação diferencial (1+x)dy-ydx=0 - Equação diferencial ordinária (EDO) - Cálculo II

Prévia do material em texto

Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• Encontre a solução geral da equação diferencial .1 + x dy - ydx = 0( )
 
Resolução:
 
Primeiro, é preciso reescrever a EDO para possibilitar sua solução, como segue;
 
1 + x dy - ydx = 0 1 + x dy = ydx =( ) → ( ) →
dy
y
dx
1 + x
 
Agora, para chegar na solução, devemos integrar os 2 membros da igualdade:
 
dy = dx∫1
y
∫ 1
1 + x
 
Resolvendo as integrais, fica;
 
1 dy = ln y)∫1
y
( )
 
2 dx u = 1 + x du = dx dx = du = ln u = ln 1 + x)∫ 1
1 + x
→ → →∫ 1
1 + x
∫1
u
( ) ( )
Substituindo os resultados nas integrais da EDO, fica;
 
dy = dx ln y + c = ln 1 + x + c∫1
y
∫ 1
1 + x
→ ( ) 1 ( ) 2
 
Usando propriedades exponenciais, reescrevemos essa igualdade como :
 
e = e e ⋅ e = e ⋅ e y ⋅ e = 1 + x ⋅ e y = 1 + xln y +c( ) 1 ln 1+x +c( ) 2 → ln y( ) c1 ln 1+x( ) c2 → c1 ( ) c2 →
e
e
c2
c1
( )
 
Fazemos : c =
e
e
c2
c1
 
y x = c 1+ x( ) ( )
 
 
(Resposta )