Determine o fator integrante que transforma a EDO (yLny + yex)dx + (x + ycosy)dy = 0 em uma equação exata. λ = 1/x λ = x λ = -1/y λ = -1/x λ = 1/y

Para determinar o fator integrante que transforma a EDO em uma equação exata, podemos utilizar a seguinte fórmula: μ(x,y) = e^∫P(x,y)dx Onde P(x,y) é o coeficiente de dx na EDO. Assim, temos: P(x,y) = ylny + yex Integrando P(x,y) em relação a x, temos: ∫P(x,y)dx = xylny + xex + C(y) Onde C(y) é uma constante de integração em relação a x. Agora, derivando C(y) em relação a y, obtemos: ∂C(y)/∂y = xycosy + D Onde D é uma constante de integração em relação a y. Substituindo μ(x,y) na EDO, temos: e^∫P(x,y)dx * (yLny + yex)dx + e^∫P(x,y)dx * (x + ycosy)dy = 0 Multiplicando μ(x,y) em ambos os lados da EDO, obtemos: (yxlny + xex + C(y))dx + (yx + y^2cosy + D)dy = 0 Derivando a expressão de C(y) em relação a y, temos: ∂C(y)/∂y = ycosy + ex Comparando com a expressão de ∂C(y)/∂y obtida anteriormente, temos: yycosy + D = ycosy + ex Logo, D = ex e μ(x,y) = e^xylnyex = (yex)^x Portanto, a alternativa correta é letra A) (yex)^x.