Forma diferencial da EDO de 1ª ordem

Esta EDO é uma EDO de primeira ordem. Sua forma geral é:

\(y'\left(x\right)+p\left(x\right)y=q\left(x\right)\)

E sua solução geral é do tipo:

\(y\left(x\right)=\frac{\int \:e^{\int \:p\left(x\right)dx}q\left(x\right)dx+C}{e^{\int \:p\left(x\right)dx}}\)

Agora iremos reescrever a EDO, da seguinte maneira:

\(p\left(x\right)=-1,\:\quad q\left(x\right)=\sin \left(x\right)\)

Teremos portanto: \(y'\:-1\cdot \:y=\sin \left(x\right)\). O fator integrante neste caso é \(μ\left(x\right)=e^{-x}\). Vamos então colocar a EDO em sua forma \(\left(\mu \left(x\right)\cdot y\right)'=\mu \left(x\right)\cdot q\left(x\right)\):

\(y'\:-1\cdot \:y=\sin \left(x\right)\\e^{-x}y'\:-e^{-x}\cdot \:1\cdot \:y=e^{-x}\sin \left(x\right)\\e^{-x}y'\:-e^{-x}y=e^{-x}\sin \left(x\right)\\\left(e^{-x}y\right)'\:=e^{-x}\sin \left(x\right)\)

Agora resolveremos \(\left(e^{-x}y\right)'\:=e^{-x}\sin \left(x\right)\). Para isto aplicaremos a integração:

\(e^{-x}y=\int \:e^{-x}\sin \left(x\right)dx\\e^{-x}y=-\frac{1}{2}e^{-x}\left(\sin \left(x\right)+\cos \left(x\right)\right)+c_1\)

Resolvendo par y teremos a resposta:

\(y=e^x\left(-\frac{1}{2}e^{-x}\left(\sin \left(x\right)+\cos \left(x\right)\right)+c_1\right)\)

Bons estudos!