mostrar que os quatros pontos (1,0,-4) ,(2.-1.3),(-2,3,5) e (-1,2,4) são coplanares

Basta formar 3 vetores e realizar o produto misto entre eles.

Fazendo  A = (1,0,-4), B = (2.-1.3), C = (-2,3,5) e D = (-1,2,4), é possível formar os vetores AB = B-A, AC = C-A e AD = D-A.

Assim, AB = (1, -1, 7), AC = (-3, 3, 9) e AD = (-2, 2, 8)

Calculando o produto misto entre os três vetores, verifica-se que ele é nulo, portanto, os vetores são coplanares.

Assim, os pontos pertencem ao mesmo plano.

Vamos usar conceitos da Geometria Analítica envolvendo propriedades vetoriais. Para que 3 vetores sejam coplanares, eles devem ser linearmente dependentes, ou seja, o produto misto deve ser nulo.

Vamos então montar 3 vetores com os pontos dados:

Cujo produto misto é dado por:

Portanto, como o produto misto tem valor 0, podemos concluir que os vetores formados pelos pontos são coplanares.

Vamos usar conceitos da Geometria Analítica envolvendo propriedades vetoriais. Para que 3 vetores sejam coplanares, eles devem ser linearmente dependentes, ou seja, o produto misto deve ser nulo.

Vamos então montar 3 vetores com os pontos dados:

Cujo produto misto é dado por:

Portanto, como o produto misto tem valor 0, podemos concluir que os vetores formados pelos pontos são coplanares.