∫|r'(t)|dt numa curva de AB, significa o que em termos físicos e geométrico analítico?

Comprimento da curva r(t)

Simples, r(t) não é uma curva C parametrizada, uma medida de distância? Escrita em termos de t? r´(t) é a derivada deste parametro, a integral não é a operação inversa da derivada? Portanto a integral da velocidade [V=r'(t)] nos da a trajetória, ou seja, o comprimento da curva C parametrizada [r(t)]. 

Em matemática, integral de linha é uma integral em que a função a ser integrada é calculada ao longo de uma curva. Tal função pode ser um campo escalar ou um campo vetorial. As integrais de linha têm importantes aplicações, como no cálculo de energia potencial, fluxo do calor e circulação de fluidos. Em termos qualitativos, uma integral de linha no cálculo de vetor pode ser pensada como uma medida do efeito total de um dado campo ao longo de uma determinada curva. Mais especificamente, a integral de linha ao longo de um campo escalar pode ser interpretada como a área sob o campo apontada para fora por uma curva particular. (fonte: https://pt.wikipedia.org/wiki/Integral_de_linha. Acesso em 10 de outubro de 2018).

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Integral de linha de um campo escalar, f. A área sob a curva C, traçada sobre a superfície definida por z = f(x,y), é o valor da integral. (fonte:https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/42/Line_integral_of_scalar_field.gif. Acesso em 10 de outubro de 2018)