S5x+2/3x^5 calculo integra

Primeira mente aplique a propriedade da linearidade da integral, a constante sai da integral.
∫(5x+2)dx / (3x^5) = (1/3) * ∫ (5x+2)dx /(x^5)

Fazendo a mudança u=5x+2 => x = (u - 2)/5  du/dx=5 => du = 5dx => dx=du/5

Substituir na integral todos os termos acima

(1/3) * ∫ (u)(du/5) /(((u - 2)/5)^5)

Novamente aplicaremos a propriedade da linearidade, constantes saem da integral:

(1/3) *((5^5)/5) ∫ (u)(du) /((u - 2)^5)

Essa integral pode ser resolvida por frações parciais, para economizar tempo verifique esta parte:

(625/3) ∫ (u)(du) /((u-2)^5) =

(625/3) ∫ [(1 /((u-2)^4)) + (2 /((u-2)^5))] * du

podemos separar em duas integrais:

(625/3) ∫ [(1 /((u-2)^4))* du] + [∫(2 /((u-2)^5)) * du]

A primeira integral fica:

∫ [(1 /((u-2)^4))* du] => Utilizando w = u-2   dw/du = 1 => dw = du

∫ [(1 /((w)^4))* dw]

 (-1/3w^3) + C

Retornando para variável u, lembrando que w = u-2

(-1/(3(u-2)^3) + C

A segunda integral fica

∫(2 /((u-2)^5)) * du

Também utilizar substituição z = (u-2) => dz/du = 1 => dz = du

∫(2 /((z)^5)) * dz

(-2 /(4z)^4)) + C

Retornando para variável u:

(-2 /(4(u-2)^4)) + C

Lembrando que nossa expressão era:

(625/3) ∫ [(1 /((u-2)^4)) + (2 /((u-2)^5))] * du

Substituindo os resultados obtidos temos:

(625/3) ((-1/(3(u-2)^3)-(2 /(4(u-2)^4)) + C)

(-625/(9(u-2)^3)-(625 /(6(u-2)^4)) + C)

Retornar a variável original; u= 5x + 2:

(-625/(9(5x + 2-2)^3)-(625 /(6*(5x + 2-2)^4)) + C)

(-625/(9(5x)^3)-(625/ (6*(5x)^4)) + C)

(-625/(9*(5^3)(x)^3) - (625 /(6*(5^4)(x)^4)) + C)

(-625/(9*125(x)^3) - (625 /(6*625(x)^4) + C)

(-5/(9(x)^3) - (1/(6*(x)^4) + C)

∫(5x+2)/3x^5= ∫5/3x^4 +∫2/3x^5-->

(5/3)∫x^-4 +(2/3)∫x^-5 = (5/3)(x^-3/-3) +(2/3)(x^-4/-4) + C

= -5/9^x3 -1/6x^4 + C