Questão resolvida - Resolva a integral raiz(1+4t²)dt - integral - Cálculo II

Prévia do material em texto

Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• Resolva a integral
 
dt∫ 1 + 4t2
 
 
Resolução:
 
Primeiro, reescrevemos a integral como:
 
dt = dt∫ 1 + 4t2 ∫ 1 + 2t( )2
 
Fazendo : u = 2t du = 2dt 2dt = du dt =→ → →
du
2
 
Substituido : dt = = du∫ 1 + 4t2 ∫ 1 + u2 du
2
1
2
∫ 1 + u2
 
Agora, fazendo : u = tg 𝜃 du = sec 𝜃 d𝜃, substituindo;( ) → 2( )
 
du = sec 𝜃 d𝜃
1
2
∫ 1 + u2 1
2
∫ 1 + tg 𝜃2( ) 2( )
 
Utilizar a identidade trigonométrica pitagórica : 
 
𝜃 = tg 𝜃 + 1sec2( ) 2( )
 
= sec 𝜃 d𝜃 = 𝜃 sec 𝜃 d𝜃 = 𝜃 d𝜃
1
2
∫ 𝜃sec2( ) 2( ) 1
2
∫sec( ) 2( ) 1
2
∫sec3( )
 
Da tabela de integrais trigonométricas, temos que :
 
𝜃 d𝜃 = +∫sec3( ) 𝜃 𝜃
2
sec( )tan( ) ln ∣ sec 𝜃 + tg 𝜃 ∣
2
( ) ( )
 
Assim, a solução da integral indefinida é;
 
 
 
𝜃 d𝜃 = +
1
2
∫sec3( ) 1
2
𝜃 tg 𝜃
2
sec( ) ( ) ln ∣ sec 𝜃 + tg 𝜃 ∣
2
( ) ( )
= +
𝜃 tg 𝜃
4
sec( ) ( ) ln ∣ sec 𝜃 + tg 𝜃 ∣
4
( ) ( )
Da relação , temos que; u = tg 𝜃 tg 𝜃 =( ) → ( )
u
1
Substituindo cada relação encontrada, a integral fica;
 
- + = +
𝜃 tg 𝜃
4
sec( ) ( )
ln sec 𝜃 + tg 𝜃
4
( ) ( )
c
2
⋅ u
4
1 + u2
ln + u
4
1 + u2
 
u = 2t, substituindo;
 
+ = +
⋅ u
4
1 + u2
ln + u
4
1 + u2
⋅ 2t
4
1 + 2t( )2
ln + 2t
4
1 + 2t( )2
 
dt = + + c ∫ 1 + 4t2 ⋅ 2t
4
1+ 4t2
ln + 2t
4
1+ 4t2
 
 
u
1
𝜃
sec 𝜃 = = e tg 𝜃 = = u ( )
1
1 + u2
1 + u2 ( )
u
1
1 + u2
Do triângulo retângulo, temos que:
(Resposta )