Se dobrarmos o valor de um número x , ele deixa resto 3 quando dividido por 5 . Qual é o resto da divisão de x por 5?

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Podemos representar o enunciado matematicamente de duas formas:

\[2x=5q+3\]

Sendo \(q\in\mathbb{Z}\) o quociente da divisão e \(3\) o resto. Ou:

\[2x\equiv3\ (mod\ 5)\]

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Para a primeira forma de tratar o problema, ao dividirmos por a expressão por \(2\), temos:

\[x=5\dfrac{q}{2}+\dfrac32\]

Tanto o quociente quanto o resto devem ser inteiros, vamos então somar e subtrair \(\dfrac52\):

\[x=5\dfrac{q}{2}-\dfrac52+\dfrac52+\dfrac32\]

\[x=5\dfrac{q-1}{2}+\dfrac82\]

\[x=5\dfrac{q-1}{2}+4\]

A outra forma de resolver é encontrando o inverso multiplicativo de 2 em \(\mathbb{Z}_5\), isto é, Que número que ao multiplicarmos por \(2\) tem resto \(1\) quando dividido por \(5\).

\(1=5\cdot0+1\), mas \(1\) não é múltiplo de \(2\).

\[6=5\cdot1+1\Rightarrow 2\cdot3=6\equiv1\ (mod\ 5)\Rightarrow 2^{-1}=3\]

Multiplicando a expressão original pelo inverso de 2, temos:

\[2^{-1}\cdot2x\equiv2^{-1}\cdot3\ (mod\ 5)\]

\[x\equiv3\cdot3\ (mod\ 5)\]

\[x\equiv9\ (mod\ 5)\]

\[x\equiv4\ (mod\ 5)\]

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Isto é, da primeira forma, \(q\) é ímpar e de ambas o resto da divisão de \(x\) por \(5\) é 4.