Sendo ABCDEF um hexágono regular de centro O, prove que: AB + AC + AD + AE + AF = 6AO

Olá! note que AB+AE=AD = 2AO e AC+AF = AD = 2A0 e AB+AF = AD = 2A0, assim, somando 2A0 + 2AO + 2AO temos 6AO

Observe que eu combinei os vetores dados no enunciado (AB, AC, AD, AE e AF).

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Par provar o que é pedido, vamos determinar o ângulo central:

\[\theta=\dfrac{360^o}{6}=60^o\]

Como o hexágono tratado é regular, todos os raios que ligam o centro aos vértices tem o mesmo tamanho, \(AO\), por exemplo. Essa propriedade, faz com que os triângulos formados por um lado e dois raios consecutivos sejam equiláteros, de forma que \(||\vec{AO}||=l\), sendo \(l\) o lado do hexágono.

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Vamos provar que:

\[\vec{AB}+\vec{AC}+\vec{AD}+\vec{AE}+\vec{AF}=6\vec{AO}\]

Como dois a dois esses vetores são simétricos em relação a \(\vec{AO}\), a componente perpendicular a \(\vec{AO}\) será nula, logo a soma desses vetores é igual à soma de suas projeções sobre \(\vec{AO}\):

\[\vec{AB}+\vec{AC}+\vec{AD}+\vec{AE}+\vec{AF}=\vec{AB}\cdot\dfrac{\vec{AO}}{l}+\vec{AC}\cdot\dfrac{\vec{AO}}{l}+\vec{AD}\cdot\dfrac{\vec{AO}}{l}+\vec{AE}\cdot\dfrac{\vec{AO}}{l}+\vec{AF}\cdot\dfrac{\vec{AO}}{l}\]

\[\vec{AB}+\vec{AC}+\vec{AD}+\vec{AE}+\vec{AF}=2\vec{AB}\cdot\dfrac{\vec{AO}}{l}\hat{AO}+2\vec{AC}\cdot\dfrac{\vec{AO}}{l}\hat{AO}+\vec{AD}\]

\[\vec{AB}+\vec{AC}+\vec{AD}+\vec{AE}+\vec{AF}=2\dfrac{l}{2}\hat{AO}+2\dfrac{3l}2\hat{AO}+2l\hat{AO}\]

\[\vec{AB}+\vec{AC}+\vec{AD}+\vec{AE}+\vec{AF}=6l\hat{AO}=6||\vec{AO}||\hat{AO}\]

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Logo demonstramos que:

\[\boxed{\vec{AB}+\vec{AC}+\vec{AD}+\vec{AE}+\vec{AF}=6\vec{AO}}\]